复数

什么是复数

复数是由实数和虚数构成的数，一般写成 $a + bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，而 $i$ 是单位虚数，满足 $i^2 = -1$。

通常把实数部分称为复数的实部，虚数部分称为复数的虚部。当复数的虚部为 $0$ 时，它就是一个实数。

复数在程序中的应用

表示

在程序中，可以使用结构体或类来表示复数。对于一个复数 $z = a + bi$，可以定义一个 Complex 类，包含实数部分和虚数部分的成员变量，以及实现加、减、乘、除等基本运算的成员函数。

class Complex {
public:
    double real;  // 实数部分
    double imag;  // 虚数部分

    Complex(double r = 0, double i = 0): real(r), imag(i) {}

    Complex operator +(const Complex& other) const {
        return Complex(real + other.real, imag + other.imag);
    }

    Complex operator -(const Complex& other) const {
        return Complex(real - other.real, imag - other.imag);
    }

    Complex operator *(const Complex& other) const {
        return Complex(real * other.real - imag * other.imag,
                       real * other.imag + imag * other.real);
    }

    Complex operator /(const Complex& other) const {
        double denom = other.real * other.real + other.imag * other.imag;
        return Complex((real * other.real + imag * other.imag) / denom,
                       (imag * other.real - real * other.imag) / denom);
    }
};

运算

通过重载运算符，可以方便地对复数进行加、减、乘、除、取共轭等运算。这些运算的具体实现可以参考上面的代码片段。

应用

复数在程序中的应用非常广泛，例如：

• 处理图像：复数傅里叶变换可以将图像从空域转换到频域，方便地对图像进行滤波等操作。
• 计算物理量：在电学、光学等领域，复数常被用来表示交流电、电磁波等物理量的振幅和相位。
• 数值计算：许多数值方法，例如求解微分方程、优化算法等，都需要处理复数。

总结

复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 $a + bi$ 的形式。在程序中可以用结构体或类来表示复数，通过重载运算符可以实现复数的加、减、乘、除等运算。复数在处理图像、计算物理量和数值计算等方面有广泛的应用。