给定图的路径中的最大桥数

在图论中，桥（Bridge）又称割边，是指在一个无向连通图中，如果去掉这条边后，图不再连通，那么这条边就是桥。给定一个图，求其中任意两点之间路径中的最大桥数。

一、问题分析

对于这个问题，可以采用深度优先搜索算法。首先先遍历一次图，计算出每个节点的dfs序，这个序号是在dfs搜索的时候节点第一次被遇到的时候赋值的。然后再进行一次深度优先搜索，对于每个节点，遍历它的相邻节点，如果相邻节点的dfs序比当前节点小，那么这个相邻节点一定是当前节点的祖先节点，这时就可以将边加入到桥的集合中。

二、代码实现

下面是Python3的实现代码：

from typing import List

def max_bridge_num(n: int, edges: List[List[int]]) -> int:
    """
    :param n: 节点数
    :param edges: 边列表，其中每一项为 [u, v] 表示连接节点 u 和节点 v 的无向边
    :return: 任意两点之间路径中的最大桥数
    """
    graph = [[] for _ in range(n)] # 初始化邻接表
    for u, v in edges: # 构建图
        graph[u].append(v)
        graph[v].append(u)
    order = [-1] * n # 初始化dfs序
    max_bridges = set() # 最大桥集合
    order_id = 0 # dfs序号
    def dfs(u: int, parent: int):
        nonlocal order_id
        order[u] = low[u] = order_id # 当前的dfs序和 low 值
        order_id += 1 # dfs序+1
        for v in graph[u]:
            if order[v] < 0: # 如果未被遍历过，则继续深度优先搜索
                dfs(v, u)
                low[u] = min(low[u], low[v]) # 根据子节点更新low值
                if low[v] > order[u]:
                    max_bridges.add((u, v)) # 如果 v 是 u 的后代节点，则(u, v)是桥
            elif v != parent: # 如果已被遍历过但不是u的父节点，则更新low值
                low[u] = min(low[u], order[v])
    low = [-1] * n # 初始化low值
    for u in range(n):
        if order[u] < 0:
            dfs(u, -1) # 从一个尚未遍历过的节点开始深度优先搜索
    return len(max_bridges) # 返回最大桥数

其中，输入的参数有节点数 n 和边列表 edges，返回值为任意两点之间路径中的最大桥数。

函数内部遍历一遍图，计算每个节点的dfs序，并且初始化一个最大桥集合。然后再进行一次深度优先搜索，对于每个节点，遍历它的相邻节点，如果相邻节点的dfs序比当前节点小，那么这个相邻节点一定是当前节点的祖先节点，这时就可以将边加入到桥的集合中。最后返回最大桥集合的长度即为最大桥数。

三、总结

对于求给定图的路径中的最大桥数，我们可以采用深度优先搜索的方法，首先计算每个节点的dfs序，然后再进行一次深度优先搜索，对于每个节点，遍历它的相邻节点，如果相邻节点的dfs序比当前节点小，那么这个相邻节点一定是当前节点的祖先节点，这时就可以将边加入到桥的集合中。最后返回最大桥集合的长度即为最大桥数。

这里介绍的方法时间复杂度为 $O(n+m)$，其中 $n$ 和 $m$ 分别为节点数和边数。