给定图的路径中的最大桥数

在图中，一条边是桥当且仅当删除这条边后，原图不连通。每条路径都由若干条边连接而成，本题要求在路径中求出最大桥数。

思路

首先遍历整个图，得到所有桥的数量。接着，对于给定的路径，对每条边进行判断，看是否为桥，并对是桥的边计数。最后返回计数结果即可。

代码实现

def max_bridge_num(graph, path):
    """
    给定图的路径中的最大桥数
    :param graph: (List[List[int]])图的邻接矩阵，graph[i][j]表示i到j是否有边
    :param path: (List[Tuple[int, int]])路径，每个元素表示路径中相邻的两条边
    :return: (int)路径中最大桥数
    """
    from collections import deque

    # 计算整个图中的桥数量
    bridges = 0
    visited = [False] * len(graph)
    low = [-1] * len(graph)
    pre = [-1] * len(graph)
    dfs_time = 0

    def dfs(u):
        nonlocal dfs_time
        visited[u] = True
        dfs_time += 1
        low[u] = pre[u] = dfs_time

        for v in range(len(graph)):
            if graph[u][v]:
                if not visited[v]:
                    pre[v] = u
                    dfs(v)
                    low[u] = min(low[u], low[v])
                    if low[v] > pre[u]:
                        bridges += 1
                elif v != pre[u]:
                    low[u] = min(low[u], pre[v])

    for i in range(len(graph)):
        if not visited[i]:
            dfs(i)

    # 计算路径中的最大桥数
    bridge_cnt = 0
    for x, y in path:
        if low[x] == pre[x] and low[y] == pre[y]:
            bridge_cnt += 1

    return bridge_cnt

复杂度分析

整个算法的时间复杂度为 $O(|V| + |E|)$，其中 $|V|$ 为图的顶点数，$|E|$ 为图的边数。计算整个图中的桥数量的时间复杂度为 $O(|V| + |E|)$。对于给定的路径，我们需要遍历所有路径上的边，时间复杂度为 $O(|P|)$，其中 $|P|$ 是路径长度。因此，算法的总时间复杂度为 $O(|V| + |E| + |P|)$。

测试样例

graph = [[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
         [1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0],
         [1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0],
         [0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
         [0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1],
         [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1],
         [0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1],
         [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0]]

path = [(0, 1), (1, 4), (4, 5), (5, 6), (5, 7)]

assert max_bridge_num(graph, path) == 2

在上面的测试样例中，给定路径为 0-1-4-5-6-5-7。其中桥的数量为 2。因此，期望的输出结果为 2。