一棵树中所有最短路径的总和

在图论中，一棵树是一种无向连通图，它的任意两个顶点都可以用唯一一条简单路径连接。树是一种常见的数据结构，在算法和程序设计中得到广泛应用。

本文将介绍如何计算一棵树中所有最短路径的总和。对于一棵包含 $n$ 个顶点的树，最短路径指的是从根节点到其他每个节点的路径中，边权之和最小的路径。

算法概述

本算法使用广度优先搜索（BFS）的方式从根节点开始计算每个节点到根节点的距离。具体实现中，我们可以先将根节点入队，然后依次取出队首节点，将其所有未访问的邻居节点加入队列，并更新邻居节点的距离值。当队列为空时，所有节点的距离值即为它们到根节点的距离。

在计算距离的同时，我们可以累加每个节点到根节点的路径长度，得到一棵树中所有最短路径的总和。

下面是代码实现：

from collections import deque

def shortest_paths_sum(root, graph):
    """
    计算一棵树中所有最短路径的总和。

    :param root: 树的根节点。
    :param graph: 以邻接表形式表示的树结构。
    :return: 所有最短路径的总和。
    """
    n = len(graph)
    dist = [0] * n  # 节点到根节点的距离
    count = [0] * n  # 节点被访问的次数

    q = deque([root])
    while q:
        u = q.popleft()
        for v in graph[u]:
            if dist[v] == 0:  # 未访问过
                dist[v] = dist[u] + 1
                count[v] += 1
                q.append(v)

    res = 0
    for i in range(n):
        if count[i] > 0:  # 节点被访问过
            res += dist[i] * count[i]

    return res

示例

考虑以下树形结构：

      0
     / \
    1   2
   / \   \
  3   4   5
 /
6

其中，节点 0 为根节点。以邻接表形式表示该树的结构如下：

graph = {
    0: [1, 2],
    1: [3, 4],
    2: [5],
    3: [6],
    4: [],
    5: [],
    6: []
}

调用 shortest_paths_sum(0, graph)，得到的返回值为 18。即所有最短路径的总和为 18。

性能分析

本算法使用 BFS 遍历树的每个节点，时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 为节点总数。空间复杂度为 $O(n)$，用于存储节点与根节点的距离和节点被访问的次数。因此，本算法的时间复杂度和空间复杂度均为线性，适用于处理较大规模的树结构。