牛顿求根法

多项式由两个词组成：Poly（表示“许多”）和 Nominal（表示“项”）。多项式是由变量、常数和指数组成的数学方程，这些变量、常数和指数使用加法、减法、乘法和除法等运算混合。多项式的一般形式是

f(x) = a _n x ⁿ + a _n−1 x ⁿ⁻¹ + … + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

根据存在的项数，多项式可分为单项式、二项式和三项式。例如，像 x、13y、39 等项都是单项式，而像 x ² + x、x10 – x ⁴等项被称为二项式，因为它们由两个项组成。类似地，只有三个项的多项式称为三项式。

多项式的根

多项式的根是给定多项式的解，必须为其确定未知变量的值。如果我们知道根，我们可以将多项式的值评估为零。变量 x 中的“n”次多项式是类型为 a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +…… + a ₁ x + a ₀的方程，其中每个变量都有一个常数作为其系数。该短语指的是表达式中由加号或减号分隔的每个变量。多项式变量的最大幂定义为多项式的次数。

牛顿求多项式根的方法

牛顿方法公式用于通过从一个根迭代到下一个根来找到多项式的根。用这种方法计算根对于更高次的多项式需要很长时间，但是对于较低次的多项式，结果非常快并且接近方程的真实根。使用这种策略，如果我们知道方程的任何一个根，我们就可以识别方程的连续根。牛顿法求多项式根的公式如下：

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'({x_0})}$

where,

• x₀ is the initial value
• f(x₀) is the function value at the initial value
• f'(x₀) is the first derivative of the function value at initial value.

推导

Newton’s method begins with an initial guess that is relatively near to the correct root (solution), and then utilize the tangent line to acquire an even better x-intercept than our first guess or beginning point.

Assume we’re looking for the root (or x-intercept) of f(x). This indicates we’re looking for an in the image below. The trick of Newton’s method is to draw a tangent line to the graph y = f(x) at the point (b, f(b)).

The crucial calculation in each stage of Newton’s technique, as we just saw, is to discover where the tangent line to y = f(x) at the point (x₁, y₁) crosses the x-axis.

The point gradient form of equation of a line with slope m and passing through the point (x0, y0) is given as:

y – y₀ = m(x – x₀).

In this situation, the line has a slope of f'(x_n). The x- intercept occurs where y = 0.

Thus, by setting y = 0, we have:

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'({x_0})}$

Hence proved.

示例问题

问题 1. 从 x ₀ = 5 开始，求方程 x ³ − 7x ² + 8x − 3 = 0 的下一个根。

解决方案：

As per Newton’s method, $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'({x_0})}$.

Given: x₀ = 5, f(x) = x³ − 7x² + 8x − 3 = 0

⇒ f'(x) = 3x² − 14x + 8

Now, x₁ = $x_0-\frac{f(5)}{f'({5})}$

= 5 − (−13)/13

= 5 + 1

⇒ x₁ = 6

问题 2. 从 x ₀ = -3.5 开始，求方程 x ³ - x ² - 15x + 1 = 0 的下一个根。

解决方案：

As per Newton’s method, $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'({x_0})}.$

Given: x₀ = 5, f(x) = x³ − x² − 15x + 1 = 0

⇒ f'(x) = 3x² − 2x − 15

Now, x₁ = $x_0-\frac{f(-3.5)}{f'({-3.5})}$

= −3.5 − (−1.625)/28.75

⇒ x₁ = −3.443

问题 3. 从 x ₀ = 2 开始，求方程 x ² − 2 = 0 的下一个根。

解决方案：

As per Newton’s method, $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'({x_0})}$.

Given: x0 = 5, f(x) = x² − 2 = 0

⇒ f'(x) = 2x

Now, x₁ = $x_0-\frac{f(2)}{f'({2})}$

= 2 − 2/4

⇒ x₁ = 1.5

问题 4. 从 x ₀ = 1 开始，找到方程 -x ³ + 4x ² - 2x + 2 = 0 的下一个根。

解决方案：

As per Newton’s method, $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'({x_0})}.$

Given: x0 = 5, f(x) = −x³ + 4x² − 2x + 2 = 0.

Now, x1 = $x_0-\frac{f(2)}{f'({2})}$

= 1 − 3/3

⇒ x₁ = 0

问题 5. 从 x ₀ = 8 开始，找到方程 x ³ - 10x ² + 9x - 12 = 0 的下一个根。

解决方案：

As per Newton’s method, $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'({x_0})}.$

Given: x0 = 5, f(x) = −x3 + 4×2 − 2x + 2 = 0.

Now, x1 = $x_0-\frac{f(2)}{f'({2})}$

= 1 − 3/3

⇒ x1 = 0