使用MO的算法对子数组中的阿姆斯壮数进行计数的范围查询

算法简介

MO算法是一种经典的分块算法，适用于对离线区间询问的计算。它的核心思想是将所有询问按照一定的顺序分块，然后依次处理每一块的询问。在每一块中，我们可以使用一些特定数据结构提前计算出一些东西，以便在回答所有询问时快速地回答

MO算法的时间复杂度是 $O(m\sqrt{n}+n\sqrt{n})$，其中 $n$ 是数据规模，$m$ 是询问次数。对于相对较大的 $n$，$m$ 相对较小的情况下，MO算法是一个非常高效的算法。

在这个问题中，我们需要对于许多子数组计算一下它们中有多少个阿姆斯壮数。我们可以先预处理出每个位置的数字对应的立方和是多少，然后对每个询问分别统计即可。MO算法给我们提供了一个高效回答所有询问的框架。

代码实现

下面给出一份基于 Python 语言实现的代码片段。假设 $n$ 是数列的长度，$q$ 是询问的数量，$a$ 数组表示数列，$asks$ 是询问列表，其中每个询问包含了两个整数 $L$ 和 $R$，表示询问的区间。

import math

def is_armstrong(num):
    """
    判断一个数 num 是否是阿姆斯壮数
    """
    sum_of_cubes = 0
    n = num
    while n > 0:
        digit = n % 10
        sum_of_cubes += digit ** 3
        n //= 10
    return sum_of_cubes == num

def compute_armstrong_count(L, R):
    """
    在区间 [L, R] 中计算阿姆斯壮数的数量
    """
    count = 0
    for i in range(L, R + 1):
        if is_armstrong(a[i]):
            count += 1
    return count

def mos_algorithm(asks):
    """
    MO算法的具体实现
    """
    block_size = int(math.sqrt(len(a)))
    sorted_asks = sorted(asks, key=lambda x: (x[0] // block_size, x[1]))
    counts = [0] * len(sorted_asks)
    L = R = curr_count = 0
    for query in sorted_asks:
        while L < query[0]:
            if is_armstrong(a[L]):
                curr_count -= 1
            L += 1
        while L > query[0]:
            L -= 1
            if is_armstrong(a[L]):
                curr_count += 1
        while R < query[1]:
            R += 1
            if is_armstrong(a[R]):
                curr_count += 1
        while R > query[1]:
            if is_armstrong(a[R]):
                curr_count -= 1
            R -= 1
        counts[query[2]] = curr_count
    return counts

# 测试样例
n = 6
q = 3
a = [153, 370, 371, 407, 1634, 8208]
asks = [(0, 1), (1, 4), (0, 5)]
counts = mos_algorithm([(L, R, i) for i, (L, R) in enumerate(asks)])
print(counts)

这段代码首先定义了 is_armstrong 函数，用于判断一个数是否是阿姆斯壮数；其次是定义了 compute_armstrong_count 函数，用于在区间中计算阿姆斯壮数的数量；最后是定义了 mos_algorithm 函数，它实现了MO算法的算法模板。

对于每个询问，我们使用while循环来逐步改变区间。我们使用 减少L增加R，增加L减少R的方式来逐步导向当前询问的区间，同时使用 curr_count 变量保存当前的阿姆斯壮数的数量。这里我们使用了差分，从而避免了重复计算。在处理完所有询问后，我们即可得到一个数组 counts，其中 counts[i] 表示第$i$个询问中有多少个阿姆斯壮数。