当％和运算成本很高时的Euclid算法

Euclid算法是一种常见的寻找最大公约数的算法，其基本思想是通过递归迭代地取模操作，直到余数为0时找到最大公约数。

然而，在某些计算环境中，取模操作的成本很高。此时，我们可以采用一些技巧来减少取模操作的次数，从而提高算法效率。

问题描述

给定两个非负整数a和b，求它们的最大公约数。

算法思路

该算法的基本思路和普通的Euclid算法类似，但是在每次迭代中，我们都会计算两个数的奇偶性，并分别给它们右移一位，以代替普通的取模操作。

具体而言，设a和b分别为偶数和奇数，我们有：

• gcd(a, b) = 2 * gcd(a / 2, b / 2) = 2 * gcd(a >> 1, b >> 1)
• gcd(a, b) = gcd((a - b) / 2, b) = gcd((a - b) >> 1, b) （a>b）
• gcd(a, b) = gcd(a, (b - a) / 2) = gcd(a, (b - a) >> 1) （a<=b）

因为每次迭代中至少有一个数被右移一位，所以当a和b的位数相差较大时，该算法的效率更高。

代码实现

以下是Python代码实现：

def gcd(a, b):
    if a == 0 or b == 0:
        return a + b
    if (~a & 1) and (~b & 1):
        return gcd(a >> 1, b >> 1) << 1
    elif (~a & 1) and (b & 1):
        return gcd(a >> 1, b)
    elif (a & 1) and (~b & 1):
        return gcd(a, b >> 1)
    elif a > b:
        return gcd((a - b) >> 1, b)
    else:
        return gcd((b - a) >> 1, a)

代码中使用了位运算来判断奇偶性，实现了上述算法思路。

总结

当％和运算成本很高时，我们可以通过一些技巧来减少取模操作的次数，从而提高算法效率。具体而言，Euclid算法可以通过右移操作代替取模操作，在一些计算环境中效果很好。