包含元音的最长公共子序列的长度

介绍

在两个字符串中，公共子序列（LCS）是指在这两个字符串中出现的所有字符序列中，长度最长的那个字符序列。

本题中，我们要求的是两个字符串的最长公共子序列的长度，并且这个子序列必须包含元音字母（即a, e, i, o, u）。

解决方案

动态规划

动态规划是一种常见的求解最长公共子序列的方法。我们可以设dp[i][j]表示字符串1的前i个字符和字符串2的前j个字符的最长公共子序列的长度，并在状态转移中判断是否包含元音字母。

具体来说，我们可以按以下步骤进行状态转移：

1. 如果字符串1的第i个字符和字符串2的第j个字符相同，则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。
2. 否则，dp[i][j]=max(dp[i][j-1], dp[i-1][j])。
3. 如果新加入的字符是元音字母，则需要额外判断dp[i][j]是否大于0，如果是则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。

时间复杂度：$O(n^2)$

代码实现

def longest_common_subsequence_with_vowel(s1: str, s2: str) -> int:
    vowels = set('aeiou')
    m, n = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j])
            if s1[i - 1] in vowels and s2[j - 1] in vowels and dp[i][j] > 0:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                
    return dp[m][n]

总结

本题要求的是包含元音字母的最长公共子序列的长度，可以使用动态规划进行求解。在状态转移时，需要判断当前加入的字符是否为元音字母，并对dp[i][j]是否大于0进行判断。时间复杂度为$O(n^2)$，适用于一般规模的问题。