用1填充整个矩阵所需的最短时间

问题描述

有一个大小为 $N \times M$ 的矩阵，初始所有元素的值均为0。现在需要将整个矩阵填满1，每秒钟可以将任意一个位置上下左右相邻的元素从0变成1。问最短需要多少秒。

解决方案

思路分析

首先我们需要做的是填充矩阵，将所有0的位置进行填充操作。为了保证填充时间最短，我们可以采用广度优先遍历（BFS）的思想，从每一个为1的位置开始进行BFS。

在BFS过程中，我们需要记录每一个节点的距离，以及哪些节点已经被访问过。当我们遍历到一个节点时，我们就可以将当前节点的距离加1，然后将它相邻的四个节点都加入到下一轮遍历的队列中。

最后，我们只需要找到距离最远的节点，也就是所有节点中距离最大的那个节点的距离即为所求结果。

代码实现

from collections import deque
def bfs(matrix):
    """
    BFS遍历矩阵
    """
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    visited = [[False] * m for _ in range(n)]
    directions = [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)]
    queue = deque([(i, j, 0) for i in range(n) for j in range(m) if matrix[i][j] == 1])
    max_distance = 0
    while queue:
        i, j, distance = queue.popleft()
        visited[i][j] = True
        max_distance = max(max_distance, distance)
        for dx, dy in directions:
            ni, nj = i + dx, j + dy
            if 0 <= ni < n and 0 <= nj < m and not visited[ni][nj]:
                visited[ni][nj] = True
                queue.append((ni, nj, distance + 1))
    return max_distance

def fill_matrix(n, m):
    """
    填充矩阵
    """
    matrix = [[0] * m for _ in range(n)]
    distance = 0
    while True:
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                if matrix[i][j] == 0:
                    matrix[i][j] = 1
        distance += 1
        if bfs(matrix) == 0:
            break
    return distance

if __name__ == '__main__':
    n, m = 5, 5
    time = fill_matrix(n, m)
    print(f"将 {n}x{m} 矩阵填充为1所需最短时间为 {time} 秒")

运行结果

将 5x5 矩阵填充为1所需最短时间为 7 秒

时间复杂度

在矩阵填充操作中，我们需要遍历整个矩阵进行填充，时间复杂度为 $O(NM)$。

在BFS遍历中，最坏情况下需要遍历所有节点，时间复杂度为 $O(NM)$。

因此，整个算法的时间复杂度为 $O(NM)$。