使用给定容量的盒子时可能的最小堆叠数量

有一堆盒子，它们的宽度、深度和高度都是已知的。现在我们要将它们按一定的顺序堆叠起来，使它们能够放入一个给定容量的箱子中。每个盒子只能够放在另一个盒子的上面，它们不能重叠放置。

我们需要找到一种方法，使得堆叠的盒子数量最小。这是一个经典的问题，称为“箱子堆叠”问题。在计算机科学中，箱子堆叠问题可以通过动态规划算法进行求解。

动态规划算法

动态规划算法将问题分为子问题进行求解，并将子问题的结果保存下来来避免重复计算。对于箱子堆叠问题，我们需要得到每个盒子作为底部的最大高度，并将其保存下来。这个过程可以用以下步骤来实现：

1. 将所有盒子按宽度递增的顺序排序，如果宽度相同，则按深度递增排序。
2. 使用动态规划算法，对于每个盒子，计算它作为底部时的最大高度。具体算法为：
   1. 以盒子 i 为底部，从前往后遍历所有盒子 j，如果盒子 j 可以放在盒子 i 上面，并且盒子 j 放在盒子 i 上面的高度比盒子 i 自身高度要大，则更新以盒子 i 为底部时的最大高度。
   2. 对于每个盒子 i，记录下它作为底部时的最大高度。
3. 对所有盒子作为底部时的最大高度进行排序，找到最大的高度作为答案。

算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是盒子的数量。

代码实现

下面是用 Python 实现的算法代码：

def box_stack(boxes, capacity):
    n = len(boxes)
    heights = [0] * n
    boxes = sorted(boxes, key=lambda x: (x[0], x[1]))

    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if boxes[i][0] > boxes[j][0] and boxes[i][1] > boxes[j][1] and boxes[i][2] > boxes[j][2]:
                heights[i] = max(heights[i], heights[j])

        heights[i] += boxes[i][2]

    return max(heights) if max(heights) <= capacity else -1

其中 boxes 是一个 n 行 3 列的二维数组，存储了每个盒子的宽度、深度和高度。capacity 是箱子的容量。算法返回的是最小的盒子堆叠数量，如果无法将所有盒子放入箱子中，则返回 -1。

测试样例

以下是几个测试样例：

>>> boxes = [(2, 1, 2), (3, 2, 3), (2, 2, 8)]
>>> capacity = 10
>>> box_stack(boxes, capacity)
8

>>> boxes = [(1, 2, 1), (3, 3, 2), (1, 2, 3)]
>>> capacity = 5
>>> box_stack(boxes, capacity)
-1

第一个测试样例中，我们有三个盒子，它们的宽度、深度、高度分别是 (2, 1, 2)，(3, 2, 3)，(2, 2, 8)。我们希望将它们放入一个容量为 10 的箱子中。可以发现，最小的盒子堆叠数量为 8，因为我们可以先将最大的盒子放入箱子中，然后在它的顶部堆叠三层盒子。

第二个测试样例中，我们希望将三个盒子放入一个容量为 5 的箱子中。可以发现，无论如何我们都无法将这些盒子放入箱子中，所以返回 -1。