求 sin 135° cosec 225° tan150° cot315° 的值

三角学是一门数学学科，研究直角三角形的边长和角之间的关系。三角函数，也称为测角函数、角函数或圆函数，是建立角度与直角三角形的两条边之比之间关系的函数。六个主要的三角函数是正弦、余弦、正切、余切、正割或余割。

Angles defined by the ratios of trigonometric functions are known as trigonometry angles. Trigonometric angles represent trigonometric functions. The value of the angle can be anywhere between 0-360°.

如上图中的直角三角形所示：

• 斜边：与直角相对的边是斜边，它是直角三角形中最长的边，与90°角相对。
• 底：角 C 所在的一侧称为底。
• 垂直：考虑角度 C 的对边。

三角函数

三角函数有 6 个基本的三角函数，它们是正弦、余弦、正切、余割、正割和余切。现在让我们看看三角函数。六个三角函数如下，

• 正弦：它被定义为垂直和斜边的比率，它表示为 sin θ
• 余弦：定义为底边与斜边的比值，表示为 cos θ
• 正切：它被定义为一个角度的正弦和余弦之比。因此，切线的定义是垂直与底的比值，并表示为 tan θ
• cosecant：它是 sin θ 的倒数，表示为 cosec θ。
• 割线：它是 cos θ 的倒数，表示为 sec θ。
• cotangent：它是 tan θ 的倒数，表示为 cot θ。

According to above given image, Trigonometric Ratios are

Sin θ = Perpendicular / Hypotenuse = AB/AC

Cosine θ = Base / Hypotenuse = BC / AC

Tangent θ = Perpendicular / Base = AB / BC

Cosecant θ = Hypotenuse / Perpendicular = AC/AB

Secant θ = Hypotenuse / Base = AC/BC

Cotangent θ = Base / Perpendicular = BC/AB

互惠身份

Sin θ = 1/ Cosec θ                    Or        Cosec θ = 1/ Sin θ

Cos θ = 1/ Sec θ                       Or         Sec θ = 1 / Cos θ

Cot θ = 1 / Tan θ                     Or         Tan θ = 1 / Cot θ

Cot θ = Cos θ / Sin θ               Or          Tan θ = Sin θ / Cos θ

Tan θ.Cot θ = 1

三角比值

	0°	30°	45°	60°	90°
Sin  θ	0	1/2	1/√2	√3/2	1
Cos θ	1	√3/2	1/√2	1/2	0
Tan θ	0	1/√3	1	√3	—
Cosec  θ	—	2	√2	2/√3	1
Sec  θ	1	2/√3	√2	2	—
Cot θ	—	√3	1	1/√3	0

补角和补角的三角恒等式

• 互补角：和等于90°的一对角
• 补角：和等于 180° 的一对角

互补角的恒等式是

sin (90° – θ) = cos θ

cos (90° – θ) = sin θ

tan (90° – θ) = 婴儿床 θ

婴儿床 (90° – θ) = tan θ

秒 (90° – θ) = cosec θ

cosec (90° – θ) = 秒 θ

补角的恒等式

sin (180° – θ) = sin θ

cos (180° – θ) = – cos θ

tan (180° – θ) = – tan θ

婴儿床 (180° – θ) = – 婴儿床 θ

秒 (180° – θ) = – 秒 θ

cosec (180° – θ) = – cosec θ

三角学象限

象限

求 sin 的值 135 ° cosec 225 ° tan 150 ° cot 315 °

解决方案：

Here we have sin 135° cosec 225° tan150° cot315°

We can write as Sin (90+45) cosec (180+45) tan (90+60) cot (360 – 45)  { as per the quadrants and trigonometric values }

 =  Cos 45° Cosec 45° Cot 60° (-Cot 45°)

 =  1/√2 × √2 × 1/√3 × -1

 = – 1/√3

The value of sin 135 cosec 225 tan150 cot315  is – 1/√3

类似问题

问题1：求Sin 60 ° Cos 30 ° + Cos 60 ° Sin 30 ° 的值？

解决方案：

Here we have  Sin 60° Cos 30° + Cos 60° Sin 30°

So Sin 60° Cos 30° + Cos 60° Sin 30°

= √3/2 × √3/2 + 1/2 × 1/2 

= 3/4  + 1/4

= 1

问题 2：评估 (Sin 30 ° – Sin 90 ° + 2 Cos 0 ° ) / Tan 30 ° Tan 60 ° ？

解决方案：

Here we have (Sin 30° – Sin 90° + 2 Cos 0°) /  Tan 30° Tan 60°

As per the trigonometric values 

(Sin 30° – Sin 90° +2 Cos 0°) /  Tan 30° Tan 60°

= (1/2 – 1 + 2 × 1 ) /  1/√3 × √3

= (1/2 – 1 + 2 ) / 1

= 3/2