最多k个元素从1到n的最大XOR值

问题描述

给定两个正整数n和k, 找到1到n中最多k个元素的最大XOR值。

解法

思路

最多k个元素的最大XOR值，其实可以抽象为一个问题：给定一个数组nums，选出其中不超过k个元素，求这k个元素的XOR值的最大值。

这个问题可以使用Trie树来解决，具体思路如下：

1. 构建Trie树，每个节点表示一个二进制位，Trie树的叶子节点表示n的二进制表示。

2. 遍历1到n中的每个数字，将其二进制表示插入到Trie树中。

3. 遍历1到n中的每个数字，计算它与其它数字的XOR值，并插入到Trie树中。

4. 查找Trie树中不超过k个元素的XOR值的最大值。

实现

详细实现见以下Python代码：

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.children = [None, None]
        self.count = 0

class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode()

    def insert(self, num):
        node = self.root
        for i in reversed(range(32)):
            bit = (num >> i) & 1
            if not node.children[bit]:
                node.children[bit] = TrieNode()
            node.count += 1
            node = node.children[bit]

    def query(self, num, k):
        if not self.root.count:
            return -1
        node = self.root
        res = 0
        for i in reversed(range(32)):
            count_left = node.children[0] and node.children[0].count or 0
            count_right = node.children[1] and node.children[1].count or 0
            if count_left >= k and count_right >= k:
                res <<= 1
                res |= 1
                node = node.children[num >> i & 1]
            else:
                res <<= 1
                res |= 0
                node = node.children[num >> i & 1 ^ 1]
        return res

def findMaximumXOR(n, k):
    trie = Trie()
    for i in range(n+1):
        trie.insert(i)
    res = -1
    for i in range(1, n+1):
        num = i
        for j in range(i+1, n+1):
            num ^= j
            res = max(res, trie.query(num, k))
    return res

复杂度分析

时间复杂度：$O(n^2 \log n)$，其中n是数字的范围。遍历1到n中的每个数字需要O(n)的时间复杂度，计算两个数字的XOR值需要O(log n)的时间复杂度。

空间复杂度：$O(n \log n)$。构建Trie树需要O(n log n)的空间复杂度，查询时需要O(log n)的额外空间复杂度。

总结

本文介绍了如何使用Trie树解决最多k个元素从1到n的最大XOR值问题。本问题可以将关注点从数字上转移到了Trie树上，既简化了问题的复杂度，也有助于巩固对Trie树的理解。