Dial 算法（针对小范围权重优化 Dijkstra）

当使用邻接列表表示实现时，Dijkstra 的最短路径算法在 O(Elog V) 时间内运行（有关详细信息，请参阅 C 实现和基于 STL 的 C++ 实现）。

输入：源 = 0，最大权重 W = 14 输出：与源的顶点距离 0 0 1 4 2 12 3 19 4 21 5 11 6 9 7 8 8 14

如果最大权重很小（或边权重范围很小），我们是否可以优化 Dijkstra 的最短路径算法以使其比 O(E log V) 更好？
例如，在上图中，最大权重为 14。很多时候，边上的权重范围在很小的范围内（即所有边的权重都可以映射到 0、1、2..w，其中 w 是一个小数）。在这种情况下，Dijkstra 算法可以通过使用不同的数据结构、bucket 进行修改，这称为 dijkstra 算法的拨号实现。时间复杂度为O(E + WV) ，其中 W 是图任何边上的最大权重，因此我们可以看到，如果 W 很小，则此实现的运行速度比传统算法快得多。以下是重要的观察结果。

• 任何两个节点之间的最大距离可以是最大值 w(V – 1)（w 是最大边权重，我们可以在两个顶点之间拥有最大 V-1 条边）。
• 在 Dijkstra 算法中，距离以非递减方式确定，即较近（到给定源）顶点的距离在较远的顶点之前确定。

算法
下面是完整的算法：

1. 维护一些桶，编号为 0, 1, 2,…,wV。
2. 桶 k 包含距离等于 k 的所有临时标记的节点。
3. 每个桶中的节点由顶点列表表示。
4. 桶 0, 1, 2,..wV 依次检查，直到找到第一个非空桶。根据定义，包含在第一个非空桶中的每个节点都具有最小距离标签。
5. 在扫描过程中，这些具有最小距离标签的节点被永久标记并从桶中删除。
6. 因此涉及顶点的操作包括：
   • 检查桶是否为空
   • 将顶点添加到存储桶
   • 从桶中删除一个顶点。
7. 当顶点的距离标签发生变化时，临时标记的顶点在桶中的位置会相应更新。
8. 重复该过程，直到所有顶点都被永久标记（或所有顶点的距离最终确定）。

执行

由于最大距离可以是 w(V – 1)，我们创建了 wV 桶（为了代码的简单性而更多）来实现如果 w 大的算法可能会很大。

// C++ Program for Dijkstra's dial implementation
#include
using namespace std;
# define INF 0x3f3f3f3f
  
// This class represents a directed graph using
// adjacency list representation
class Graph
{
    int V;  // No. of vertices
  
    // In a weighted graph, we need to store vertex
    // and weight pair for every edge
    list< pair > *adj;
  
public:
    Graph(int V);  // Constructor
  
    // function to add an edge to graph
    void addEdge(int u, int v, int w);
  
    // prints shortest path from s
    void shortestPath(int s, int W);
};
  
// Allocates memory for adjacency list
Graph::Graph(int V)
{
    this->V = V;
    adj = new list< pair >[V];
}
  
//  adds edge between u and v of weight w
void Graph::addEdge(int u, int v, int w)
{
    adj[u].push_back(make_pair(v, w));
    adj[v].push_back(make_pair(u, w));
}
  
// Prints shortest paths from src to all other vertices.
// W is the maximum weight of an edge
void Graph::shortestPath(int src, int W)
{
    /* With each distance, iterator to that vertex in
       its bucket is stored so that vertex can be deleted
       in O(1) at time of updation. So
    dist[i].first = distance of ith vertex from src vertex
    dits[i].second = iterator to vertex i in bucket number */
    vector::iterator> > dist(V);
  
    // Initialize all distances as infinite (INF)
    for (int i = 0; i < V; i++)
        dist[i].first = INF;
  
    // Create buckets B[].
    // B[i] keep vertex of distance label i
    list B[W * V + 1];
  
    B[0].push_back(src);
    dist[src].first = 0;
  
    //
    int idx = 0;
    while (1)
    {
        // Go sequentially through buckets till one non-empty
        // bucket is found
        while (B[idx].size() == 0 && idx < W*V)
            idx++;
  
        // If all buckets are empty, we are done.
        if (idx == W * V)
            break;
  
        // Take top vertex from bucket and pop it
        int u = B[idx].front();
        B[idx].pop_front();
  
        // Process all adjacents of extracted vertex 'u' and
        // update their distanced if required.
        for (auto i = adj[u].begin(); i != adj[u].end(); ++i)
        {
            int v = (*i).first;
            int weight = (*i).second;
  
            int du = dist[u].first;
            int dv = dist[v].first;
  
            // If there is shorted path to v through u.
            if (dv > du + weight)
            {
                // If dv is not INF then it must be in B[dv]
                // bucket, so erase its entry using iterator
                // in O(1)
                if (dv != INF)
                    B[dv].erase(dist[v].second);
  
                //  updating the distance
                dist[v].first = du + weight;
                dv = dist[v].first;
  
                // pushing vertex v into updated distance's bucket
                B[dv].push_front(v);
  
                // storing updated iterator in dist[v].second
                dist[v].second = B[dv].begin();
            }
        }
    }
  
    // Print shortest distances stored in dist[]
    printf("Vertex   Distance from Source\n");
    for (int i = 0; i < V; ++i)
        printf("%d     %d\n", i, dist[i].first);
}
  
// Driver program to test methods of graph class
int main()
{
    // create the graph given in above fugure
    int V = 9;
    Graph g(V);
  
    //  making above shown graph
    g.addEdge(0, 1, 4);
    g.addEdge(0, 7, 8);
    g.addEdge(1, 2, 8);
    g.addEdge(1, 7, 11);
    g.addEdge(2, 3, 7);
    g.addEdge(2, 8, 2);
    g.addEdge(2, 5, 4);
    g.addEdge(3, 4, 9);
    g.addEdge(3, 5, 14);
    g.addEdge(4, 5, 10);
    g.addEdge(5, 6, 2);
    g.addEdge(6, 7, 1);
    g.addEdge(6, 8, 6);
    g.addEdge(7, 8, 7);
  
    //  maximum weighted edge - 14
    g.shortestPath(0, 14);
  
    return 0;
}

输出：

Vertex Distance from Source
0     0
1     4
2     12
3     19
4     21
5     11
6     9
7     8
8     14

插图
下面是从这里采取的分步说明。

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