分配问题的匈牙利算法 |设置 2（实施）

给定一个二维数组，大小为N*N 的arr ，其中arr[i][j]表示^第i^个工人完成第j^个工作的成本。可以指派任何工人执行任何工作。任务是分配工作，使得只有一名工人可以执行一项工作，从而使分配的总成本最小化。

例子

Input: arr[][] = {{3, 5}, {10, 1}}
Output: 4
Explanation: The optimal assignment is to assign job 1 to the 1st worker, job 2 to the 2nd worker.
Hence, the optimal cost is 3 + 1 = 4.

Input: arr[][] = {{2500, 4000, 3500}, {4000, 6000, 3500}, {2000, 4000, 2500}}
Output: 4
Explanation: The optimal assignment is to assign job 2 to the 1st worker, job 3 to the 2nd worker and job 1 to the 3rd worker.
Hence, the optimal cost is 4000 + 3500 + 2000 = 9500.

本文讨论了解决此问题的不同方法。

做法：思路是用匈牙利算法来解决这个问题。算法如下：

1. 对于矩阵的每一行，找到最小的元素并从其行中的每个元素中减去它。
2. 对所有列重复步骤 1。
3. 使用最少数量的水平线和垂直线覆盖矩阵中的所有零。
4. 最优性检验：如果覆盖线的最小数量为N ，则最优分配是可能的。否则，如果行小于N ，则未找到最佳分配，必须继续执行步骤 5。
5. 确定未被任何行覆盖的最小条目。从每个未覆盖的行中减去此条目，然后将其添加到每个覆盖的列中。返回步骤 3。

考虑一个示例来理解该方法：

Let the 2D array be:

2500 4000 3500
4000 6000 3500
2000 4000 2500

Step 1: Subtract minimum of every row. 2500, 3500 and 2000 are subtracted from rows 1, 2 and 3 respectively.

0   1500  1000
500  2500   0
0   2000  500

Step 2: Subtract minimum of every column. 0, 1500 and 0 are subtracted from columns 1, 2 and 3 respectively.

0    0   1000
500  1000   0
0   500  500

Step 3: Cover all zeroes with minimum number of horizontal and vertical lines.

Step 4: Since we need 3 lines to cover all zeroes, the optimal assignment is found. 

 2500  4000  3500
 4000  6000  3500
 2000  4000  2500

So the optimal cost is 4000 + 3500 + 2000 = 9500

为了实现上述算法，想法是使用dlib 库中定义的max_cost_assignment()函数。该函数是在O(N ³ )时间内运行的匈牙利算法（也称为 Kuhn-Munkres 算法）的实现。它解决了最优分配问题。

下面是上述方法的实现：

Python

# Python program for the above approach
import dlib
  
# Function to find out the best
# assignment of people to jobs so that
# total cost of the assignment is minimized
def minCost(arr):
  
    # Call the max_cost_assignment() function
    # and store the assignment
    assignment = dlib.max_cost_assignment(arr)
  
    # Print the optimal cost
    print(dlib.assignment_cost(arr, assignment))
  
  
# Driver Code
  
# Given 2D array
arr = dlib.matrix([[3, 5], [10, 1]])
  
# Function Call
minCost(arr)

输出

4

时间复杂度： O(N ³ )
辅助空间： O(N ² )

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