📜  数学 |拉格朗日中值定理

📅  最后修改于: 2021-09-28 10:25:53             🧑  作者: Mango

小号uppose

f:[a,b]\rightarrow R

是满足以下条件的函数:

1) f(x) 在闭区间 a ≤ x ≤ b 内连续

2) f(x) 在开区间 a < x < b 是可微的

那么根据拉格朗日定理,在开区间 (a, b)中至少存在一个点 ‘c’ 使得:

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

我们可以通过下图形象化拉格朗日定理

简单来说,拉格朗日定理说,如果在二维平面中的两点 A(a, f(a)) 和 B(b, f(a)) 之间有一条路径,那么至少会有一个点 ‘ c’ 在路径上,使得点 ‘c’ 处的切线斜率,即(f ‘ (c))等于路径的平均斜率,即,

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

示例:验证区间 [2,4] 中 f(x) = x 2 的均值定理。

解决方案:首先检查函数在给定的闭区间内是否连续,答案是肯定的。然后检查开区间 (2,4) 中的可微性,是的,它是可微的。

{f}'(x)=2x

f(2) = 4

和 f(4) = 16

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{16-4}{4-2}=6   中值定理指出,有一个点 c ∈ (2, 4) 使得

{f}'(c)=6

{f}'(x)=2x

这意味着 c = 3。因此在 c = 3 ∈ (2, 4),我们有

{f}'(c)= 6

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