一个群的两个子群的交集又是一个子群

组:
它是一个配备二元运算的集合，它组合任意两个元素以形成第三个元素，以满足称为群公理的三个条件，即结合性、恒等性和可逆性。

小组：
如果群 G 的一个非空子集 H 本身就是 G 运算下的群，我们称 H 是 G 的一个子群。

证明 ：
证明群 G 的两个子群的交集又是 G 的子群。

证明 ：
设 H ₁和 H ₂是 G 的任意两个子群。
然后，

H1 ∩  H2  ≠  ∅

因为至少单位元素’e’是H 1 和H _2共有的。
为了证明 H ₁ ∩ H ₂是一个子群，只要证明

a ∈ H1 ∩ H2 ,  b ∈ H1 ∩ H2
⇢ a b-1 ∈ H1 ∩ H2

现在，

a ∈ H1 ∩ H2  
⇢ a ∈ H1  and   a ∈ H2
   b ∈ H1 ∩ H2
⇢ b ∈ H1  and   b ∈ H2

因为H ₁和H ₂是子群。
所以，

a ∈ H1  ,  b ∈ H1
⇢  ab-1 ∈ H1 

和

a ∈ H2 ,  b ∈ H2
⇢ ab-1 ∈ H2

因此，

ab-1 ∈ H1    and     ab-1 ∈ H2
⇢ ab-1 ∈ H1 ∩ H2

因此，H1 ∩ H2 是G 的一个子群，这就是我们的定理，即一个群的两个子群的交集又是一个子群。