证明循环群的每个子群都是循环的

证明 ：
循环组的每个子组都是循环的。

循环组：
它是一个由单个元素生成的组，该元素称为该循环组的生成器，或者循环组G是其中每个元素都是该元素中特定元素g的幂的元素。也就是说，对于乘法组，对于某个整数n，G的每个元素都可以写成g ^{n，对于加法组，可以写成g的某些整数n。}因此，g是组G的生成器。

证明 ：
让我们假设G是由ie G = {a}生成的循环基团。
如果另一组H等于G或H = {a}，则显然H是循环的。
因此，令H为G的适当子集。因此，H的元素将为a的整数幂。
如果A ^S∈H，那么该的A ^S即逆;

a-s ∈ H

因此，H包含a的正整数和负整数幂。
现在，令m为最小正整数，使得

am ∈ H

然后，我们将证明：

H = { am }

即，H是循环的，由^m生成。
令^t为H的任意元素。
通过除法算法，存在整数q和r，使得：

t = mq + r,    0 ≤ r 

现在，

am ∈ H 
⇢(am)q ∈ H 
⇢ amq ∈ H
⇢(amq)-1 ∈ H
⇢a-mq  ∈ H.

还，

at  ∈ H
a-mq  ∈ H ⇢ at a-mq  ∈ H
⇢ at-mq  ∈ H
⇢ ar  ∈ H.      (Since, r = t- mq)

现在m是最小的正整数，这样：

am ∈ H,      0 ≤ r 

因此，r必须等于0。
因此，

t = mq                    

所以，

at = amq =(am)q .

因此，每一个元素^叔∈H是形式(一^米)^的q。
因此，H是循环的，而^m是H的生成。
因此，证明了环状基团(G)的每个子基团(在这种情况下为H)都是环状的。