📜  数学 |特征值和特征向量

📅  最后修改于: 2021-09-22 10:45:15             🧑  作者: Mango

矩阵 A 的特征向量是由矩阵 X 表示的向量,使得当 X 与矩阵 A 相乘时,所得矩阵的方向与向量 X 相同。

在数学上,上述语句可以表示为:

AX = λX

其中 A 是任意矩阵, λ 是特征值,X 是对应于每个特征值的特征向量。

在这里,我们可以看到 AX 与 X 平行。因此,X 是一个特征向量。

求任意方阵A的特征向量和特征值的方法
我们知道,

AX = λX

=> AX – λX = 0

=> (A – λI) X = 0 …..(1)

仅当 (A – λI) 是单数时,上述条件才成立。这意味着,

|A – λI| = 0 …..(2)

(2) 称为矩阵的特征方程。

特征方程的根是矩阵 A 的特征值。

现在,为了找到特征向量,我们只需将每个特征值代入(1)并通过高斯消元法求解,即将增广矩阵 (A – λI) = 0 转换为行梯形形式并求解线性方程组从而获得。

特征值的一些重要性质

  • 实对称矩阵和厄密矩阵的特征值是实数

  • 实偏斜对称矩阵和偏斜厄密矩阵的特征值要么是纯虚数要么为零

  • 酉矩阵和正交矩阵的特征值是单位模数|λ| = 1

  • 如果 λ 1, λ 2 …….λ n是 A 的特征值,则 kλ 1 , kλ 2 …….kλ n是 kA 的特征值

  • 如果 λ 1, λ 2 …….λ n是 A 的特征值,则 1/λ 1 , 1/λ 2 …….1/λ n是 A -1 的特征值

  • 如果 λ 1, λ 2 …….λ n是 A 的特征值,则 λ 1 k , λ 2 k …….λ n k是 A k 的特征值

  • A 的特征值 = A T 的特征值(转置)

  • 特征值总和 = A 的迹(A 的对角线元素的总和)

  • 特征值的乘积 = |A|

  • A 的不同特征值的最大数量 = A 的大小

  • 如果 A 和 B 是两个相同阶的矩阵,则 AB 的特征值 = BA 的特征值

本文由 Saurabh Sharma 提供。