偶数和奇数排列及其定理

偶数排列：

A permutation is called even if it can be expressed as a product of even number of transpositions.

示例1：
 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 2 & 3\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 1 & 2\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 1 & 3\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 1 & 2\\ \end{pmatrix}$

在这里，我们可以看到置换(1 2 3)已通过三种方式表示为换位的乘积，并且在每种置换方式中，换位的数量均为偶数，因此它是偶数的置换。

示例2：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&4\\ 2 & 4 & 3&1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&4\\ 2 & 4 & 3&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 3\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 1&4\\ \end{pmatrix}$

给定的排列是两个转置的乘积，因此它是偶数排列。

奇数排列：

A permutation is called even if it can be expressed as a product of odd number of transpositions.

示例1：

$\begin{pmatrix} 3 & 4& 5&6\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 3 & 4& 5&6\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 3 & 5\\ \end{pmatrix} o \begin{pmatrix} 3 & 6\\ \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 4 & 5\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5 & 6\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 6 & 4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 3 & 5\\ \end{pmatrix}$

在这里，我们可以看到置换(3 4 5 6)已通过两种方式表示为换位的乘积，并且每种置换的置换数均为奇数，因此它是奇数置换。

示例2：

$\begin{pmatrix} 1&2\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5&4&3\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 6&7&8\\ \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1&2\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5&4\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 5&3\\ \end{pmatrix} o\begin{pmatrix} 6&7\\ \end{pmatrix}o \begin{pmatrix} 6&8\\ \end{pmatrix}$

给定的排列是五个转置的乘积，因此它是奇数排列。

偶数和奇数排列定理：

定理1：

如果P1和P2是排列，则

• (a) P1 P2是偶数，前提是P1和P2都是偶数或都是奇数。
• (b) P1如果P1和P2中的一个为奇数而另一个为偶数，则P2为奇数。

证明：(a)

情况I。如果P1，P2均为偶数。

令P1和P2分别为2n和2m换位的乘积，其中n和m为正整数。

那么，P，P2和P2 P1中的每一个都是2n + 2m换位的乘积，其中2n + 2m显然是偶数整数。

因此，P1 P2和P2P甚至是排列。

案例二。如果P1，P2均为奇数。令Pi和P2分别为(2n + 1)和(2m + 1)换位的乘积，其中n和m是正整数。

那么P1 P2和P2P中的每一个都是乘积(2n +1)+(2m +1)，即2(n + m +1)个换位，其中2(n + m +1)显然是偶数整数。

因此，P1 P2和P2 P1是偶数排列。

证明：(b)

令P为奇数，P2为偶数。还要令P和P2分别是(2n +1)和2与换位的乘积，其中n和m是正整数。

然后，P1 P2和P2P1中的每一个都是(2n +1)+ 2m的乘积，即[2(n + m)+1]个换位，其中2(n + m)+1很明显是奇数整数。

因此，P1 P2和P2 P1是奇数排列。

定理2：
身份置换是偶数置换。

证明-：同一性置换l始终可以表示为两个(即，偶)换位的乘积。

例如

因此，我是一个偶数排列。 (请参阅定义)

定理3：
偶数排列的逆是偶数排列。

证明-：如果P是偶数排列而P ^-1是其逆数，则PP ^-1 = I，即身份排列。

但是我和P甚至是偶数(请参见上面的定理2)，

因此P ^-1也是偶数(请参见上面的定理1(a))

定理4：
奇数排列的倒数是奇数排列。

证明-：如果P是一个奇数排列，P ^-1是它的逆数，则PP ^-1 = I，即身份排列。

但是P和我很奇怪(请参阅上面的定理2)，

所以P ^-1也很奇怪(参见上面的定理1(b))