给定N个模块化方程式：
A≅x 1 mod(m 1 )
。
。
A≅x n mod(m n )
在方程A≅xmod(m 1 * m 2 * m 3 .. * m n )中找到x
其中m i是素数或素数的幂，并且i取从1到n的值。
输入被提供为两个数组，第一个是包含每个x i值的数组，第二个数组包含每个素数的值集。我
输出最终方程式中x的整数。
例子 ：
Consider the two equations
A ≅ 2mod(3)
A ≅ 3mod(5)
Input :
2 3
3 5
Output :
8
Consider the four equations,
A ≅ 3mod(4)
A ≅ 4mod(7)
A ≅ 1mod(9) (32)
A ≅ 0mod(11)
Input :
3 4 1 0
4 7 9 11
Output :
1243
解释 ：
我们旨在一次求解两个方程。我们采用前两个方程式，将其组合起来，然后使用该结果与第三个方程式组合，依此类推。下面以示例2为参考，说明结合两个方程的过程：
- A we 3mod(4)和A≅4mod(7)是我们首先提供的两个方程。让所得到的方程是一些A 0≅X 0 MOD(M 1 * M 2)。
- A 0由m 1 ‘* m 1 * x 0 + m 0 ‘* m 0 * x 1给出
其中，m 1 ‘= M 1模m 0和m 0的逆模块化’=模块化逆米0模m 1 - 我们可以使用扩展的欧几里得算法来计算模逆。
- 我们发现x 0为A 0 mod(m 1 * m 2 )
- 我们得到的新方程为A≅11mod(28)，其中A为95
- A 0由m 1 ‘* m 1 * x 0 + m 0 ‘* m 0 * x 1给出
- 现在，我们尝试将其与方程式3组合，并通过类似的方法，得出A≅235mod(252)，其中A = 2503
- 最后，将其与方程式4结合在一起，我们得到A≅1243mod(2772)其中A = 59455和x = 1243
我们观察到2772正好等于4 * 7 * 9 * 11。
因此，我们找到了最终方程的x值。
您可以参考扩展欧几里得算法和模乘逆，以获取有关这些主题的更多信息。
# Python 2.x program to combine modular equations
# using Chinese Remainder Theorem
# function that implements Extended euclidean
# algorithm
def extended_euclidean(a, b):
if a == 0:
return (b, 0, 1)
else:
g, y, x = extended_euclidean(b % a, a)
return (g, x - (b // a) * y, y)
# modular inverse driver function
def modinv(a, m):
g, x, y = extended_euclidean(a, m)
return x % m
# function implementing Chinese remainder theorem
# list m contains all the modulii
# list x contains the remainders of the equations
def crt(m, x):
# We run this loop while the list of
# remainders has length greater than 1
while True:
# temp1 will contain the new value
# of A. which is calculated according
# to the equation m1' * m1 * x0 + m0'
# * m0 * x1
temp1 = modinv(m[1],m[0]) * x[0] * m[1] + \
modinv(m[0],m[1]) * x[1] * m[0]
# temp2 contains the value of the modulus
# in the new equation, which will be the
# product of the modulii of the two
# equations that we are combining
temp2 = m[0] * m[1]
# we then remove the first two elements
# from the list of remainders, and replace
# it with the remainder value, which will
# be temp1 % temp2
x.remove(x[0])
x.remove(x[0])
x = [temp1 % temp2] + x
# we then remove the first two values from
# the list of modulii as we no longer require
# them and simply replace them with the new
# modulii that we calculated
m.remove(m[0])
m.remove(m[0])
m = [temp2] + m
# once the list has only one element left,
# we can break as it will only contain
# the value of our final remainder
if len(x) == 1:
break
# returns the remainder of the final equation
return x[0]
# driver segment
m = [4, 7, 9, 11]
x = [3, 4, 1, 0]
print crt(m, x)
Output
1243
该定理和算法具有很好的应用价值。一个非常有用的应用是计算n C r ％m，其中m不是素数，而卢卡斯定理不能直接应用。在这种情况下，我们可以计算出m的素因数，然后将我们的n C r ％m方程中的素因数一一用作模数(可以使用卢卡斯定理进行计算)，然后使用上面显示了中国剩余定理。