3D形状的表面积和体积

我们在任何地方看到的都是固体。大多数情况下，这些固体要么是立方体，圆柱体和圆锥体等形状，要么是结合了这些形状的形状。在许多现实生活中的问题中，至关重要的是，我们必须知道如何计算这些形状的面积和体积。例如，画家可能想知道他/她必须为给定形状绘制的区域。同样，在制作金属球之前，我们需要知道需要多少材料。所有这些都需要对基本形状的体积和表面积有一定的了解。让我们详细了解它们。

实体形状的表面积和体积

表面积是描述用于覆盖几何固体的材料量的区域，而体积可以定义为测量固体所占空间的量度。必须知道用于计算基本形状的面积和体积的公式。让我们看一下以下形状的表面：

长方体

下图显示了长方体形状，这是我们的盒子，纸箱等的形状，我们的目标是导出公式以计算其表面积和体积。假设长方体的长度为“ l”，宽度为“ b”，高度为“ h”。

长方体的表面积

要计算立方体的表面积，请如下图所示将其打开。现在该图显示了扁平的长方体。它有6个矩形，分别对应于长方体的六个面。对于立方体的表面积，我们需要找出所有矩形的总面积。

Total surface area = Area of rectangle 1 + Area of rectangle 2 + Area of rectangle 3  + Area of rectangle 4 + Area of rectangle 5 + Area of rectangle 6

⇒ (l × h) + (l × b) + (l × h) + (l × b) + (b × h) + (b × h) 

⇒ 2(lh + lb + bh) 

Thus, the surface area of cuboid = 2 (lh + lb + bh) 

长方体的体积

我们知道，一个区域的体积由其大小决定，即其占用的空间。

The volume of a cuboid = base area x height 

                                       = l × b × h 

                                       = lbh

立方体

多维数据集是具有所有边均等长的实心形状。我们知道，立方体只是长方体都相等的长方体。我们的目标是得出用于计算立方体的表面积和体积的公式。下图表示一个多维数据集。请注意，所有边都是相等的，并且看起来与长方体相似。立方体基本上是长方体，其所有边均等长。那是，

l = b = h = a

其中“ a”是立方体侧面的长度。

立方体表面积

因此，将其放在上面的公式中

Surface area of cube = 2(a² + a² + a²) 

⇒ 2(3a²) = 6a²

立方体积

与上述方法类似，让我们在公式中替换边的长度。

Volume = lbh 

             = aaa 

             = a³

右圆柱体

我们使用的可乐罐就是一个直圆柱的例子。它也可以在我们生活中的其他地方找到，例如，我们的钢笔看起来也类似于圆柱体。下图显示了圆柱体及其展开版本，它们将用于计算表面积。假设圆柱体的高度为“ h”，其半径为“ r”。

圆柱体表面积

上图显示了展开时的圆柱体。展开后，很容易找到其表面积。请注意，圆柱体一旦展开就看起来像一个矩形。矩形的宽度由“ h”给出，但长度由圆柱体的周长给出。

Circumference of the cylinder = 2πr

Area of the rectangle = 2πrh

Thus, the Surface area of the Right Circular Cylinder = 2πrh

Total surface area of the right circular cylinder = Surface Area of the cylinder + Area of base 

                                                                               = 2πrh + 2πr² = 2πr(r+h)

气缸容积

Volume of cylinder = base area x height 

                                 = πr² × h

                                 = πr² h

领域

球体是三维图形(实心图形)，它由空间中的所有点组成，这些点位于距球体中心的固定点恒定的距离(称为半径)上。下图显示了一个球体，以及球体在切割时的展平版本。这用于计算球体的表面积。

球体的表面积

与上述情况类似，我们将切开球体并将其展平。

在图中，我们可以看到，当切出一个球体时，它将生成一个等于四个球体的区域。

Thus, the surface area of the sphere = 4πr²

球体体积

该公式是通过实验证明的，因此我们在此处无法提供任何证明。

Volume of Sphere = $\frac{4}{3}\pi r^3$

锥体

圆锥体是一个三维图形，其底面为一个圆形，高度逐渐变细并在末端的某个点汇合。 Apex是圆锥形尖端的名称，我们在日常生活中会看到许多圆锥形的形状，例如，冰淇淋呈圆锥形等。

在下图中，圆锥的半径为“ r”，高度为“ h”。

锥体表面积

圆锥体的表面积由下式给出

Curved surface Area of cone = $\frac{1}{2} \times l \times 2\pi r = \pi rl$

Where, $l = \sqrt{h^2 + r^2}$

锥体体积

圆锥的体积由下式给出：

Volume of Cone = $\frac{1}{3}\pi r^2 h$

半球

想象一个将球体分成两个相等部分的平面，每个部分被称为半球。半球一词用于解释地球，北半球，南半球，东半球，西半球的不同部分。

半球的表面积

由于半球是球的一半，因此表面积也将是一半，但与此同时，也可以看到圆形的基部，该基部也包括在半球的表面积中。

因此，半球的表面面积^{=2πR2 +πR2}

^=3πR2

半球体积

半球的体积将是球体体积的一半。

Volume of hemisphere= $\frac{4}{3}\pi r^3$

棱镜

棱镜是具有两个彼此面对的底面的三维图形，这些底面可以是三角形，矩形或任何多边形的形状。棱镜的材料主要是萤石，玻璃，塑料。

棱镜的基部可以是规则的或不规则的，如果基部是不规则的，则称为不规则棱镜。如果棱镜的底角是规则的，则棱镜是规则的棱镜。

棱镜表面积

让我们看一下三角棱镜的表面积，

棱柱的表面积= 2(三角形底边的面积)+(底边为b且长度为l的矩形的面积)+2(边为s且长度为l的矩形的面积)。

Surface area of the Prism= 2(1/2 ×b× h) +2(s× l) +(b×l)

= (b×h) + 2(s×l) + (l×b)

棱镜体积

棱镜的体积是正方形的面积乘以棱镜的高度/长度，

Volume of Prism= 1/2 bhl

让我们看一下有关这些概念的一些示例问题

样本问题

问题1：求出一个边长为10厘米的立方体的体积和表面积。

解决方案：

We know the formulas for surface areas and volume. 

Surface Area = 6a²

                             = 6(10)² {Given a = 10cm} 

                             = 6 (100) 

                       = 600 cm²

Volume of the cube = a³

                                  = (10)³ 

                                  = 1000 cm³  

问题2：求出半径为10m，高度为40m的圆柱形状的水箱的容积和表面积。

解决方案：

We know the formulas for surface areas and volume for cylinder. 

r = 10 and h =40. 

Surface Area of the cylinder = Curved Surface Area + Area of bases 

$\\ = 2 \pi rh + 2\pi r^2 \\ = 2 \pi r (r + h) \\ = 2 \pi (10 )(10 + 40) \\ = 2 \pi (10)(50) \\ = 2 \pi (500) \\ = 1000 \pi = 3142.8 \text{ m}^2$

Volume of the Cylinder,

$\\ = \pi r^2h \\ = \pi (10)^2 (40) \\ = \pi 4000\\ = 4000 \pi \\ = 4000 (3.1428) \\ = 1242.8 \text{ m}^3$

问题3：求出半径为3厘米，高度为4厘米的冰淇淋蛋筒的体积和表面积。

解决方案：

An ice cream cone is basically a cone. We need to find the area and the volume for that cone. Since the cone is not closed from the top, we only need to find the curved surface area. 

Surface Area of cone,

$= \pi rl \\ = \pi r \times \sqrt{r^2 + h^2} \\ = \pi 3 \times \sqrt{3^2 + 4^2} \\ = \pi 3 \times \sqrt{25} \\ = \pi (3)(5) \\ = 15\pi \\ = 15(3.14) \\ = 47.10 \text{ cm}^2$

Volume of the cone,

$= \frac{1}{3}\pi r^2 h \\ = \frac{1}{3} \pi (3)^2(4)\\ = \frac{1}{3} \pi 9 \times 4 \\ = 12\pi \\ = 12(3.14) \\ = 37.68 \text{ cm}^2$

问题4：求出半径为10cm的球体的体积和表面积。

解决方案：

Given r = 10cm. 

Surface Area

$\\ = 4\pi r^2 \\ = 4 \pi (10)^2 \\ = 400\pi = 1256 \text{ cm}^2$

Volume

$\\ = \frac{4}{3}\pi r^3 \\ = \frac{4}{3} \pi 10^3 \\ = \frac{4}{3} (3.14) 1000 \\ = \frac{12.56}{3} 1000 \\ = 418.6 \text{ cm}^3$

问题5：找到半径为7cm的半球表面积，并找到体积。

解决方案：

Surface area of the hemisphere= $3\pi r^2$

= 3× 22/7× (7×7)

=462 cm²

Volume of hemisphere

$\\ = \frac{4}{3}\pi r^3$

$\\ = \frac{4}{3}\pi 7^3$

= 1437.333 cm³

问题6：找到下图中提到的三角棱镜的表面积，

解决方案：

Surface area of the Prism = (b×h) + 2(l×s)+ (l×b)

= (5×5)+ 2(7×10) +(5×10)

= 25+ 140+ 50

= 75+ 140

= 215cm²