集中趋势的度量是获得用于表示大量数字数据的数值的方法。这些获得的数值称为中心值或平均值。一个中央 任何统计数据或系列的平均值，即代表整个数据或其相关频率分布的变量的值。这样的值非常重要，因为它描述了整个数据的性质或特征，否则很难观察到。
一些最常用的集中趋势度量是：
- 算术平均值(AM)
- 几何平均值(GM)
- 谐波均值(HM)
- 中位数
- 模式
然而，对于第9类(CBSE)，我们将只研究算术平均值，中位数和众为原料(群组)的数据。
算术平均值(均值)
(i)对于单个或未分组数据： 算术平均值(X’)定义为各个观察值(x i )的总和除以观察值总数N。
X’=(∑ x i )÷N
示例：如果有5个观测值，分别是27、11、17、19、21，则算术平均值(X’)由下式给出：
X = (27 + 11 + 17 + 19 + 21) ÷ 5
X = 95 ÷ 5
X = 19
(ii)对于分组数据或直接方法：算术平均值(X’)定义为观测值(x i )及其对应频率(f i )的乘积之和除以所有频率(f i )的总和。
X’=(∑ x i ×f i )÷(∑f i )
示例：如果观测值(x i )及其频率(f i )给出如下：
|
xi: |
4 |
6 |
15 |
10 |
9 |
|---|---|---|---|---|---|
|
fi: |
5 |
10 |
8 |
7 |
10 |
则上述分布的算术平均值(X’)由下式给出
X’ = (4×5 + 6×10 + 15×8 + 10×7 + 9×10) ÷ (5 + 10 + 8 + 7 + 10)
X’ = (20 + 60 + 120 + 70 + 90) ÷ 40
X’ = 360 ÷ 40
X’ = 9
算术平均值的性质
- 不能以图形方式计算。
- 与算术平均值的偏差的代数和为零； ∑(x i – X’)= 0 。
- 如果X是观测值的算术平均值，并且将a添加到每个观测值中，则新的算术平均值由X’= X + a给出。
- 如果X是观测值的算术平均值，并且将a减去每个观测值，则新的算术平均值由X’= X-a给出。
- 如果X是观测值的算术平均值，并且将a乘以每个观测值，则新的算术平均值由X’= X×a给出。
- 如果X是观测值的算术平均值，并且每个观测值都除以a ，则新的算术平均值由X’= X÷a给出。
中位数
任何分布的中位数是将该分布分为两个相等部分的值，以使其上方的观测数量等于其下方的观测数量。要计算中位数，观测值必须按升序或降序排列。如果观测的总数为N，则
(i) Median = Value of observation at [(n + 1) ÷ 2]th position; if N is an odd.
(ii) Median = Arithmetic mean of Values of observations at (n ÷ 2)th and [(n ÷ 2) + 1]th position; if N is an even.
例1：如果观测值为25、36、31、23、22、26、38、28、20、32，则中位数为
Arranging the data in ascending order: 20, 22, 23, 25, 26, 28, 31, 32, 36, 38
N = 10 which is even then
Median = Arithmetic mean of values at (10 ÷ 2)th and [(10 ÷ 2) + 1]th position
Median = (Value at 5th position + Value at 6th position) ÷ 2
Median = (26 + 28) ÷ 2
Median = 27
示例2：如果观察值为25、36、31、23、22、26、38、28、20，则中位数为
Arranging the data in ascending order: 20, 22, 23, 25, 26, 28, 31, 36, 38
N = 9 which is odd then
Median = Value at [(9 + 1) ÷ 2]th position
Median = Value at 5th position
Median = 26
中位数的属性
- 可以通过图形计算。
- 它不受极端值(即数据中的最大值或最小值)的影响。
模式
模式是该观察值，具有与之对应的最大频率。它是通过简单地检查给定的未分组数据来计算的。
示例：如果观测值为5、3、4、3、7、3、5、4、3，则模式为
|
Xi |
5 |
3 |
4 |
7 |
|---|---|---|---|---|
|
fi |
2 |
4 |
2 |
1 |
Since 3 has occurred a maximum number of times i.e. 4 times in the given data;
Hence Mode = 3
模式的属性
- 也可以通过图形计算。
- 它也不受极端值(即数据中的最大值或最小值)的影响。
笔记
- For Symmetric Distributions (Mean = Median = Mode)
- For Asymmetric or Moderately Symmetric Distributions (Mode + 2 × Mean = 3 × Median)