对两个变量的线性方程组

线性方程用于描述两个变量之间的关系。有时在某些情况下，我们不知道我们要观察的变量的值。因此，然后我们制定方程式来描述它们的行为并解决它们。获得的方程式数量应等于变量的数量。例如，

Camus and Bob went to a shop to buy some books. Camus bought three copies of “Metamorphosis” and four copies of “Myth of Sisyphus”. He paid Rs 500 for these books. Then, Bob bought four copies of Metamorphosis and one copy of “Myth of Sisyphus” in Rs 600. How would you find out cost of each book? 

在上述情况下，建立两个线性方程并对其求解是可行的。有几种解决这类方程组的方法。

对线性方程组两个变量

线性方程定义为

ax + by + c = 0

其中，a，b和c是实数，而a和b都不为零。

通过两个这样的线性方程形成一对。它可以表示为

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0

a ₁ ，b ₁ ，c ₁ ，a ₂ ，b ₂和c ₃是实数。

由于线性方程式表示在笛卡尔平面上的一条线。一对代表笛卡尔平面上的两条线。该系统的解决方案将是满足这两个方程的点。这种系统有三种可能性：

1. 没有解决方案
2. 独特的解决方案
3. 无限多个解决方案

无解决方案，独特解决方案和无限多个解决方案

让我们简要地看一下解决这些方程式的不同方法。

解决方案的图形方法

在这种方法中，我们在图形上表示方程，并通过它们找出它们的交点。我们寻找两条线共有的点，有时只有这样的点，但是也可能发生没有解或无限解的情况。

问题：找出以下几行的交点。

3x + 5y = 6

x + y = 2

解决方案：

We will plot both the lines on the graph. 

These lines intersect at (2,0). 

如果我们将系数a1，a2，b1，b2，c1和c2与具有唯一解，无限解和无解的不同方程对进行比较。我们获得下表中给出的结果。

对于两行，

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0

Graphical Representation	Algebraic Interpretation	Conditions
One intersection	Unique Solution	$\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$
Coincident Lines	Infinitely Many Solutions	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
No intersection/ Parallel Lines	No Solution	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$

求解线性方程组的代数方法

替代方法

在这种方法中，我们使用一个方程式来表示另一个变量的变量，从而减少了方程式中变量的数量。然后，我们将该表达式替换为给我们的另一个方程式。

问题：用替代方法求解下面的方程对。

x + y = 3

3x + y = 16

解决方案：

Let’s pick the equation 

x + y = 3 

x = 3 – y 

Substituting the value of x in the other equation,

3x + y = 16 

3(3 – y) + y = 16 

9 – 3y + y = 16 

-2y =7 

y = -7/2 

消除方法

这种方法有时比替换方法更方便。在这种方法中，我们通过将方程与适当的常数相乘并相加来消除一个变量，这样做是为了消除一个变量，当方程中只剩下一个变量时，就可以轻松解决。

问题：使用消除方法求解以下方程式。

x + y = 3

x – y = 5

解决方案：

We have two equations, 

x + y = 3  …….(1)

x – y = 5 …… (2)

Adding the equation (1) and (2) to eliminate the variable -y. 

2x = 8 

x = 4 

Substituting the value of x in equation (1) 

4 + y = 3 

y = -1

交叉相乘法

这种方法看起来比其他方法更复杂，但是它是求解线性方程组的最有效方法之一。假设两条方程式为

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0

在这种交叉乘法中，

该解决方案由下式给出：

$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$

问题1：使用消除法求解以下方程式。

2x + 3y = 46

3x + 5y = 74

解决方案：

a₁ = 2, a₂ = 3, b₁ = 3, b₂ = 5, c₁ = 46 and c₂ = 74

$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \\ \frac{x}{3(-74) - 5(-46)} = \frac{y}{-46(3) -(-74)(2)} = \frac{1}{2(5) - 3(3)} \\ \frac{x}{8} = \frac{y}{10} = \frac{1}{1} \\$

x = 8 and y = 10

问题2：以图形方式解决以下等式对：

2x + 3y = 46

3x + 5y = 74

解决方案：

We need to plot them of graph separately and then look at their intersection. 

This graph intersects are (10,8)

问题3：用代换法求解下面的线性方程对。

5x + 4y = 20

x + 2y = 4

解决方案：

We have to solve these two equations 

5x + 4y = 20 

x + 2y = 4

Let’s we pick the second equation, 

x = 4 – 2y

Now substituting the value of x in the other equation. 

5(4 – 2y) + 4y = 20 

20 – 10y + 4y = 20 

-6y = 0 

y = 0 

Finding out the value of x by substituting the value of y in the equation, 

x = 4 – 2y 

x = 4 

(4, 0) is the solution to this pair of linear equations. 

问题4：使用消除法求解以下方程式。

4x + 5y = 20

8x + 2y = 5

解决方案：

Let the equations be, 

4x + 5y = 20 ……..(1)

8x + 2y = 5 ….. (2)

We need to eliminate one of the variables here from these two equations, 

Multiply equation (1) with 2 and subtract it with (2). 

2 x(1) -(2) 

8x + 10y = 40 ….. 2 x(1)

8x + 2y = 5 …..(2) 

Subtracting both of these, 

8y = 35 

y = $\frac{35}{8}$

Substituting this value in equation (1) 

$4x + 5(\frac{35}{8}) = 20 = 4x + \frac{175}{8} = 20 \\ = 4x = 20 - \frac{175}{8} \\ = 4x = \frac{-15}{8} \\ = x = \frac{-15}{32}$