先进的掌握定理，用于分而治之

主定理用于根据渐近符号确定算法(分而治之的算法)的运行时间。
考虑使用递归解决的问题。

function f(input x size n)
if(n < k)
solve x directly and return 
else
divide x into a subproblems of size n/b
call f recursively to solve each subproblem
Combine the results of all sub-problems

上面的算法将问题分为一个子问题，每个子问题的大小为n / b，并递归求解它们以计算问题，并且为问题做的额外工作由f(n)给出，即创建子问题并将其组合的时间导致上述过程。

因此，根据主定理，上述算法的运行时间可以表示为：

T(n) = aT(n/b) + f(n)   

其中n =问题的大小
a =递归中子问题的数量，a> = 1
n / b =每个子问题的大小
f(n)=在递归调用之外完成的工作成本，例如划分为子问题，以及将它们组合以获得解决方案的成本。

并非所有的递归关系都可以通过使用主定理来解决，即

• T(n)不是单调的，例如：T(n)= sin n
• f(n)不是多项式，例如：T(n)= 2T(n / 2)+ 2 ⁿ

该定理是主定理的高级版本，如果递归具有以下形式，则该定理可用于确定分治法的运行时间：

其中n =问题的大小
a =递归中子问题的数量，a> = 1
n / b =每个子问题的大小
b> 1，k> = 0且p为实数。

然后，

1. 如果a> b ^k ，则T(n)=θ(n ^{log _b a} )
2. 如果a = b ^k ，则
   (a)如果p> -1，则T(n)=θ(n ^{log _b a} log ^{p + 1} n)
   (b)如果p = -1，则T(n)=θ(n ^{log _b a} loglogn)
   (c)如果p <-1，则T(n)=θ(n ^{log _b a} )
3. 如果a k ，则
   (a)如果p> = 0，则T(n)=θ(n ^k log ^p n)
   (b)如果p <0，则T(n)=θ(n ^k )

时间复杂度分析–

• 示例1：二进制搜索– T(n)= T(n / 2)+ O(1)
  a = 1，b = 2，k = 0，p = 0
  b ^k =1。因此，a = b ^k且p> -1 [情况2.(a)]
  T(n)=θ(n ^{log _b a} log ^{p + 1} n)
  T(n)=θ(logn)
• 示例2：合并排序– T(n)= 2T(n / 2)+ O(n)
  a = 2，b = 2，k = 1，p = 0
  b ^k =2。因此，a = b ^k且p> -1 [情况2.(a)]
  T(n)=θ(n ^{log _b a} log ^{p + 1} n)
  T(n)=θ(nlogn)
• 示例3： T(n)= 3T(n / 2)+ n ²
  a = 3，b = 2，k = 2，p = 0
  b ^k =4。因此，a k且p = 0 [情况3.(a)]
  T(n)=θ(n ^k log ^p n)
  T(n)=θ(n ² )
• 范例4： T(n)= 3T(n / 2)+ log ² n
  a = 3，b = 2，k = 0，p = 2
  b ^k =1。因此，a> b ^k [情况1]
  T(n)=θ(n ^{log _b a} )
  T(n)=θ(n ^{log ₂ 3} )
• 示例5： T(n)= 2T(n / 2)+ nlog ² n
  a = 2，b = 2，k = 1，p = 2
  b ^k =2。因此，a = b ^k [情况2.(a)]
  T(n)=θ(n ^{log _b a} log ^{p + 1} n)
  T(n)=θ(n ^{log ₂ 2} log ³ n)
  T(n)=θ(nlog ³ n)
• 示例6： T(n)= 2 ⁿ T(n / 2)+ n ⁿ
  由于函数的形式不是T(n)= aT(n / b)+θ(n ^k log ^p n)，因此无法使用上述方法解决此重复问题

门实践问题–

• GATE-CS-2017(Set 2)|第56章
• GATE IT 2008 |第42章
• GATE CS 2009 |第35章