我们非常了解Pascal的身份，即n c r = n-1 c r + n-1 c r-1
一个好奇的读者可能已经观察到Pascal的恒等式在建立求解二项式系数的递归关系中很有用。使用简单的代数证明上述身份是很容易的。在这里，我试图解释它的实际意义。
回顾计数技术， n c r表示从n个元素中选择r个元素。让我们从这n个元素中选择一个特殊元素k ，剩下( n – 1 )个元素。
我们可以将这些r个元素选择n c r分为两类，
1)包含元素k的组。
2)不包含元素k的组。
考虑第一组，特殊元素k在所有r选择中。由于k是r个元素的一部分，我们需要从剩余的( n – 1 )个元素中选择(r – 1 )个元素，因此有n-1 c r-1种方式。
考虑第二组，特殊元素k不在所有r个选择中，即，我们将不得不从可用( n – 1 )个元素中选择所有r个元素(因为我们必须从n中排除元素k )。这可以以n-1 c r的方式完成。
现在很明显，这两者之和是从n个元素中选择r个元素。
有很多方法可以证明上述事实。 Pascal身份可能有许多应用。请分享您的知识。