检查给定点是否在凸多边形的给定N点内

在计算机科学中，凸多边形是指所有内角均小于180度的多边形。给出一个凸多边形和一个点，我们需要检查该点是否在该凸多边形内。这个问题被广泛使用在计算几何学和计算机图形学中。本文将介绍一种算法来解决这个问题。

算法概述

本算法又被称为射线法或者“点与多边形相交次数的奇偶性判别法”。其原理是从给定点出发，向外发出一条从水平向右的射线。通过计算该射线与多边形的交点数量的奇偶性来判断该点是否在多边形内。

算法实现

首先需要使用一个函数来计算两个向量的叉积。

def cross_product(v1, v2):
    """
    计算两个向量的叉积
    Args:
    v1: 第一个向量，为二维数组[x1, y1]
    v2: 第二个向量，为二维数组[x2, y2]
    Returns:
    返回v1和v2的叉积
    """
    return v1[0]*v2[1] - v1[1]*v2[0]

然后，可以定义一个函数用来确定在打印点是否在给定的凸多边形内。该函数会遍历多边形的每一条边，来计算多边形和射线的交点数量。

def is_inside(polygon, point):
    """
    确定点是否在凸多边形内
    Args:
    polygon: 凸多边形，为二维数组：[[x1, y1], [x2, y2], ...]
    point: 给定的点，为二维数组[x, y]
    Returns:
    若该点在多边形内，则返回True，否则返回False
    """
    n = len(polygon)
    count = 0
    for i in range(n):
        p1 = polygon[i]
        p2 = polygon[(i+1) % n]
        # 如果点和多边形某个点重合，直接返回True
        if p1 == point or p2 == point:
            return True
        # 如果点在多边形的顶点上，则计算顶点的夹角
        if point[1] == p1[1] and point[1] == p2[1]:
            if (point[0] > p1[0] and point[0] < p2[0]) or (point[0] > p2[0] and point[0] < p1[0]):
                return True
        if point[1] > min(p1[1], p2[1]) and point[1] <= max(p1[1], p2[1]):
            # 如果点在p1、p2两点的水平方向之间，计算两个向量的叉积
            x_inters = float(point[1] - p1[1])*(p2[0] - p1[0])/(p2[1] - p1[1]) + p1[0]
            if point[0] == x_inters:
                return True
            if point[0] < x_inters:
                count += 1
    # 如果交点数量为奇数，返回True，否则返回False
    if count % 2 == 1:
        return True
    else:
        return False

算法测试

下面给出凸多边形和打印点的示例：

polygon = [[0,0], [0,1], [1,1], [1,0], [0,0]]
point = [0.5, 0.5]
print(is_inside(polygon, point)) # 应该输出 True
point = [1.5, 0.5]
print(is_inside(polygon, point)) # 应该输出 False

总结

本文介绍了一种算法来判断给定点是否在凸多边形内。这个算法的时间复杂度为O(n)，其中n是多边形的顶点数量。它是该问题的一种简单而有效的解决方案。