二元矩阵中单元格间的最大距离

问题描述

给定一个二元矩阵，其中 1 表示障碍物，0 表示空闲的单元格。对于任意一个空闲的单元格，找到距离其最近的障碍物的距离。对于矩阵中的所有空闲单元格，将它们与最近的障碍物的距离中的最大值定义为“最大距离”。

请编写一个函数来计算二元矩阵中的最大距离。

举例说明

例如，给定以下矩阵:

0 0 1
0 0 0
1 0 0

一个可能的输出为：

4

解释: 最短距离如下所示：

1 2 0
2 3 4
0 4 5

最大距离为 4。

解决方案

为了计算矩阵中空闲单元格的最大距离，我们需要具有以下两个步骤：

1. 针对每个障碍物（即值为 1 的元素），执行广度优先搜索，以计算其到每个空闲单元格的最短距离。
2. 遍历矩阵中的每个空闲单元格，并找到最短距离值的最大值。

广度优先搜索

广度优先搜索可以用于计算从起点开始到矩阵中所有其他点的最短距离。在这里我们的起点是每个障碍物的位置。

from collections import deque

def bfs(matrix, start):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    visited = set()
    q = deque([start])
    distance = {(start[0], start[1]): 0}
    while q:
        x, y = q.popleft()
        for dx, dy in [(0, -1), (0, 1), (-1, 0), (1, 0)]:
            nx, ny = x + dx, y + dy
            if 0 <= nx < m and 0 <= ny < n and (nx, ny) not in visited and matrix[nx][ny] == 0:
                visited.add((nx, ny))
                q.append((nx, ny))
                distance[(nx, ny)] = distance[(x, y)] + 1
    return distance

以上代码使用了一个队列（deque）和一个集合（set）来进行广度优先搜索。队列用于存储待搜索的点，集合用于存储已经搜索过的点以防止被重复搜索。

我们将搜索结果存储在一个字典中，字典键是位置元组 (x, y)，值是从障碍物到该位置的最短距离。

计算最大距离

我们遍历矩阵中的每个空闲单元格，并计算它们到最近的障碍物的距离的最大值。

def max_distance(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    barriers = []
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                barriers.append((i, j))
    max_dist = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 0:
                distances = [bfs(matrix, b).get((i, j), float('inf')) for b in barriers]
                max_dist = max(max_dist, min(distances))
    return max_dist

我们首先遍历矩阵找到所有障碍物的位置，然后遍历空闲单元格并计算它们到每个障碍物的距离，将这些距离的最小值存储在距离列表中。最后，我们取该列表的最小值，并将其与当前的最大距离值（初始为 0）进行比较并更新。

总结

该问题的解决方案利用了广度优先搜索算法和简单的列表解析。问题的主要难点在于实现广度优先搜索算法以计算原始矩阵中每个障碍物到每个空闲单元格的最短距离。