一维中的碰撞

在游戏过程中，您可能目睹了两个台球相互碰撞。碰撞是两个不同物体的猛烈碰撞。当两个物体碰撞时会发生什么？我们能确定碰撞物体的速度或轨迹吗？让我们调查一下！

当两件事物在短时间内相互接触时，就会发生碰撞。换句话说，碰撞是两个质量之间的短期相互接触，其中碰撞质量的动量和能量发生变化。您可能已经看到了在玩 caroms 时硬币碰撞时前锋对硬币的影响。

恢复系数

在它们之间发生碰撞后相互作用的粒子的最终速度与初始速度之比称为恢复系数。归还系数用'e'表示，取值范围为0到1。由于归还系数是一个常数商品，它没有任何维度。它提供了有关碰撞弹性的更多信息。完美的弹性碰撞，系统的整体动能没有损失。它基本上是一个整数值，它描述了碰撞材料性质的度量。

恢复系数的最大值为e = 1。

恢复系数的公式为

e = 碰撞前的相对速度/碰撞后的相对速度

e 的取值范围

由于恢复系数介于 0 到 1 之间，它可以包含以下值范围：

• 对于 e = 0，指的是完全非弹性碰撞。在这种碰撞发生过程中损失了最大的动能。
• 如果 0 < e < 1，则表示现实世界的非弹性碰撞，即在这些类型的碰撞中，会损失一些动能。
• 如果 e = 1，则表示完全弹性碰撞，其中没有动能耗散。物体以与它们接近的速度相同的速度反弹。

碰撞类型

根据动量守恒定律，物体与单个质量的碰撞过程中没有能量损失。然而，在不遵循动能守恒的情况下，可能存在某些碰撞。基于碰撞过程中遵循的能量守恒，可以设计以下类别：

(1) 弹性碰撞

Elastic collisions conserve the total momentum and total energy. The total kinetic energy may or may not be conserved. Since the forces involved during the collision are conserved in nature, the form of mechanical energy is not converted to any other form of energy. 

让我们假设两个质量为 m ₁和 m ₂的物体分别以速度 u ₁和 u ₂运动。设这两个物体碰撞后的最终速度为 v ₁和 v ₂ 。

根据动量守恒定律，我们有：

m ₁ u ₁ + m ₂ u ₂ = m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂

根据动能守恒：

$\frac{1}{2} m_1u^2_1 + \frac{1}{2} m_2u^2_2 = \frac{1}{2} m_1v^2_1 +\frac{1}{2} m_2v^2_2$

弹性碰撞的例子有：

• 两个台球之间的碰撞。
• 投掷和接回一个球。

弹性碰撞的应用有：

碰撞时间与作用在相互作用物体之间的力成反比。为了使作用在两个物体之间的力最大化，必须减少碰撞时间。对于另一种情况也是如此。这意味着，为了最小化两个物体之间的力，必须增加碰撞时间。

这些概念在车辆中引入安全气囊的概念中可见。这个想法是提供更大的塌陷时间，以最大限度地减少碰撞期间力对物体的影响。汽车中的安全气囊通过增加停止乘客和司机的动力所需的时间框架来实现这一点。

(2) 非弹性碰撞

Inelastic collisions conserve the total momentum and total energy. The total kinetic energy may or may not be conserved. The energy is transformed into other forms of energy, that is, heat and light. The interacting objects may either stick to each other or begin moving aligned in the same direction. 

根据动量守恒定律，我们有，

由于物体沿相同方向移动，因此两个物体以相同的速度 v 移动，

m ₁ u ₁ + m ₂ u ₂ = (m ₁ + m ₂ )v

$v= \frac{m_1u_1 + m_2u_2}{m_1 + m_2}$

• 碰撞前质量的动能为：KE ₁ = $\frac{1}{2} m_1u^2_1 + \frac{1}{2} m_2u^2_2$
• 碰撞后的动能为：KE ₂ = 1/2 (m ₁ + m ₂ ) v ₂

根据能量守恒定律，

$\frac{1}{2} m_1u^2_1 + \frac{1}{2} m_2u^2_2 = \frac{1}{2} (m_1+ m_2) v_2 + Q$

其中“Q”是指导致产生热量或声音的能量变化。

非弹性碰撞的例子有：

• 两辆车发生事故。
• 一辆汽车撞到树上。
• 球从某个高度落下，无法上升到原来的高度。

一维碰撞

The collision in which both the initial and final velocities of the involved masses lie in one line. All the variables involved in the motion occur in a single dimension.

(1) 弹性一维碰撞

在弹性碰撞中，动量和内部动能是守恒的。因为弹性碰撞只能用像电子或中子这样的微观粒子来模拟。考虑两个质量为 m ₁和 m ₂的质子

根据动量守恒定律，我们有，

m ₁ u ₁ + m ₂ u ₂ = m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂

由于动能守恒，

$\frac{1}{2} m_1u^2_1 + \frac{1}{2} m_2u^2_2 = \frac{1}{2} m_1v^2_1 +\frac{1}{2} m_2v^2_2$

这意味着，

$m_1u^2_1 + m_2u^2_2 = m_1v^2_1 + m_2v^2_2$ （除掉 1/2）

重新排列我们得到： $m_1u^2_1- m_1v^2_1 = m_2v^2_2 - m_2u^2_2$

所以，

$m_1(u^2_1- v^2_1)= m_2(v^2_2 - u^2_2)$

在扩展时，它变成，

$m_1(u_1+v_1 ) (u_1- v_1 )=m_2 (v_2 + u_2)(v_2 - u_2)$

通过动量守恒：

$m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$

使用相同的质量对其进行分组：

$m_1u_1-m_1v_1 = m_2v_2 -m_2u_2$

所以，

$m_1(u_1-v_1) = m_2(v_2 -u_2)$

在划分两个方程时：

$m_1(u_1+v_1) (u_1- v_1) = \frac{m_2 (v_2 + u_2)(v_2 - u_2) }{ m_1(u_1-v_1 )} = m_2(v_2 -u_2 )$

我们暗示，

$u_1+v_1 = v_2 + u_2$

现在，

$v_1 = v_2 + u_2- u_1$

替换的值$v_1$

$v_2 = \frac{[2 m_1 u_1 + u_2 (m_2-m_1)] }{ (m_1 + m_2 )}$ …….(1)

现在在方程中使用 v2 的值$v_1 = v_2 + u_2- u_1$

$v_1 = \frac{[2 m_1 u_1 + u_2 (m_2-m_1)] }{ (m_1 + m_2)} + u_2- u_1\\ v_1 = \frac{[2 m_1 u_1 + u_2 (m_2-m_1) + u_2 (m_1 + m_2 ) - u_1(m_1 + m_2 )] }{ (m_1 + m_2 ) }$ …….(2)

在减少时，我们得到，

$v_1 = \frac{[2m_2 u_2 + u_1 ( m_1 - m_2)] }{ (m_1 +m_2 )}$

在碰撞后的大部分时间里，这些质量会交换它们的速度。当两个物体的质量相等时，

$v_1 = u_2\ and\ v_2 = u_1$

万一第二质量物体静止，第一质量物体与它发生碰撞，碰撞发生后，速度互换，第一质量物体静止，第二质量物体以相等的速度运动到第一个质量。

所以， $v_1$ = 0 和$v_2$ = $u_1$ .万一如果$m_1 < m_2$然后， $v_1 = -u_1\ and\ v_2 = 0$

这意味着较轻的物体（质量较小的物体）将倾向于以自己的速度向后轰击，而较重的物体将在其位置保持静止。

此外，我们有，以防万一，

$m_1 > m_2\ then\ v_1 = u_1\ and\ v_2 = 2u_1$

一些特殊情况是：

案例一：

在质量相等的物体的情况下，即$m_1 = m_2$

使用等式（1）和（2），我们有，

$v_2=u_1, v_1=u_2$ .

因此，我们可以得出结论，如果两个质量相等的物体发生正面弹性碰撞，那么粒子之间就会发生速度交换。此外，在这种情况下，两个粒子之间的动量交换是最大的。

案例二：

考虑目标粒子处于静止状态 i,e $u_2=0$

使用等式（1）和（2），我们有，

$v_2=\left(\frac{2m}{m_1+m_2}\right)u_1$ ……(3)

$v_1=\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)u_2$ ……(4)

KE 变换的幅度由下式给出，

$\frac{\frac{1}{2}m_2v^2_2}{\frac{1}{2}m_1u^2_1}=\frac{\frac{1}{2}m_2\left(\frac{2m_1u_1}{m_1+m_2}\right)^2}{\frac{1}{2}m_1u^2_1}\\$

$=\frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}=\frac{4\frac{m_2}{m_1}}{\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)^2}$ ……(5)

什么时候$m_1=m_2$ ,那么在这种情况下$v_0=0\ and\ v_2=u_1$

并且转移的部分 KE 将是

=1

因此，碰撞后粒子的各自状态和速度互换，第一个粒子静止，第二个粒子开始以第一个粒子的速度运动。

在这种情况下，其中$m_1=m_2$能量转移是满的，即100%。

而且，万一$m_1 > m_2$要么$m_1 < m_2$ ，则能量转换不等于 100%。

案例三：

如果$m_2 >>>> m_1\ and\ u_2=0$

使用等式（3）和（4），我们有，

$v_1 ≅ -u_1\ and\ v_2=0$ ……..(6)

案例四：

如果$m_1 >>>> m_2\ and\ u_2=0$

使用等式（3）和（4），我们有，

$v_1 ≅ u_1\ and\ v_2=2u_1$ …………(7)

所以，

我们可以得出结论，当质量较大的粒子与静止时质量可忽略不计的较轻粒子发生碰撞时，碰撞后，重粒子保持相同的速度，轻粒子开始以较重粒子的两倍速度运动质量物体。

(2) 非弹性一维碰撞

所涉及粒子的动量保持守恒，动能转变为不同形式的能量。

根据动量守恒定律，我们有，

$m_1u_1 + m_2u_2 = (m_1 + m_2) v$

由于在非弹性一维碰撞中，两个物体都倾向于以相同的速度 v 移动，我们有，

$v = m_1u_1 + \frac{m_2u_2}{ m_1 + m_2}$

动能的损失可以等同于：

$E = \frac{1}{2} m_1u^2_2 - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_2$

示例问题

问题 1. 质量为 m 且以速度 V m/s 运动的物体与另一个物体发生碰撞，该物体的质量是其原来静止时质量的两倍。计算碰撞前后 KE 的比值。

解决方案：

Mass of first object  = m 

Mass of second object = 2m

The ratio of K.E before and after the collision will be 9:1.

问题 2：计算橡胶球从 10 m 高处的天花板落下时的恢复系数。它反弹两次并达到 2.5 m 的最终高度。

解决方案：

Coefficient of restitution is given by, 

$e=\frac{Relative\ speed\ after\ collision}{Relative\ speed\ before\ collision}$

On calculating, we obtain,

 $e =\frac{ 1}{\sqrt2}$

问题 3：考虑两个质量相等的完全弹性粒子 A 和 B，m 的初始速度分别为 15 m/sec 和 10 m/sec。他们的最终速度是多少？

解决方案：

The velocities of the bodies will interchange after the collision, therefore, the final velocities of the masses will be, 

A	B
10	15

问题 4. 考虑一开始处于静止位置的身体。它在一维运动中不断加速。解释耗散功率与时间之间的关系。

解决方案：

By the second law of motion, 

v = u + at

v = 0 + at = at

Since, we know power is equivalent to ,

P = F × v

Therefore, we have, 

P = (ma) × at = ma²t

Since m and n are constants,

Hence, Power is directly proportional to time. 

P ∝ t.

问题 5：假设一个身体最初处于静止位置。它以恒定的功率在一维运动中不断加速。解释位移与时间的关系。

解决方案：

Since, we know, 

p = force × velocity

[p] = [F] [v] = [MLT^-2][LT^-1]

[p] = [ML²T^-3]

L²T^-3 = constant

⇒ $\frac{L^2}{T^2}$ = constant

L² ∝  T³

⇒ L ∝ $T^{\frac{3}{2}}$