计算将N表示为2的幂的和的方法

在计算机科学中，常常会遇到将一个整数表示为一系列2的幂的和的情况。这种情况通常在解决某些算法问题时出现，因此需要熟练掌握。

思路

将一个整数N表示为2的幂的和，需要找到在N范围内最大的2的指数i，满足2的i次方小于等于N，然后将N减去2的i次方，并递归处理剩余的整数。

递归结束的条件是 N = 0。

示例

假设要将N=23表示为2的幂的和，过程如下：

1. 找到最大的2的指数i，满足2的i次方小于等于23： $2^4=16$，因此i=4。
2. 将N减去2的i次方： $23-16=7$。
3. 递归处理剩余的整数7，重复步骤1-2。
4. 找到最大的i，满足 $2^2=4$ 小于等于7，因此i=2。
5. 将N减去2的i次方： $7-4=3$。
6. 递归处理剩余的整数3，重复步骤1-2。
7. 找到最大的i，满足 $2^1=2$ 小于等于3，因此i=1。
8. 将N减去2的i次方： $3-2=1$。
9. 递归处理剩余的整数1，重复步骤1-2。
10. 找到最大的i，满足 $2^0=1$ 小于等于1，因此i=0。
11. 将N减去2的i次方： $1-1=0$。
12. N等于0，递归结束。

因此， $23 = 2^4 + 2^2 + 2^1 + 2^0$。

实现

以下是Python实现的代码片段：

def powers_of_two(n):
    """
    将整数n表示为2的幂的和。

    Args:
        n: 待表示的整数。
    Returns:
        返回列表，每个元素为2的指数。
    """
    if n == 0:
        return []
    i = 0
    while 2 ** i <= n:
        i += 1
    i -= 1
    result = [i]
    rest = n - 2 ** i
    result += powers_of_two(rest)
    return result

以上代码使用了递归实现，每次找到最大的2的幂次方，然后减去该幂次方，并将结果递归处理，直到N等于0。函数返回一个表示幂次方的列表，列表中的每个元素对应一项。

性能

因为每次都需要通过循环查找最大的幂次方，所以该算法的时间复杂度为 $O(logN)$，空间复杂度也是 $O(logN)$。如果使用二进制位运算代替除法运算，则时间复杂度可降至 $O(1)$。