通过更改任何子矩阵的角元素的奇偶性来检查矩阵A是否可以转换为B

简介

给定两个n x n的矩阵A和B，编写一个算法来确定能否通过更改矩阵中任何大小为k的子矩阵的右上角元素的奇偶性来将矩阵A转换为B。

过程

思路：通过枚举矩阵B中每个右上角元素的奇偶性，判断是否可以生成对应的子矩阵，使得矩阵A变成B。如果可以找到，则说明可以转换，否则不能转换。

伪代码：

CanTransform(A, B, k):
    for parity in (0, 1):
        for i in range(n-k+1):
            for j in range(n-k+1):
                if A[i][j] % 2 == parity:
                    # 生成子矩阵
                    sub_matrix = []
                    for x in range(k):
                        row = []
                        for y in range(k):
                            row.append(B[i+x][j+y] % 2 == parity)
                        sub_matrix.append(row)
                    # 检查是否匹配
                    if check(sub_matrix, k):
                        return True
    return False

其中check(sub_matrix, k)是判断子矩阵是否与矩阵A可以匹配的函数。

复杂度

时间复杂度：$O(n^4)$，枚举矩阵B中所有的右上角元素以及所有的可能子矩阵。

空间复杂度：$O(k^2)$，存储子矩阵。

具体实现

以下是一个Python的实现，返回markdown格式的代码片段。

def CanTransform(A, B, k):
    '''判断是否可以将矩阵A转换为矩阵B'''
    def check(sub_matrix, k):
        '''判断子矩阵是否与矩阵A可以匹配'''
        match = [[False for _ in range(k)] for _ in range(k)]
        for i in range(k):
            for j in range(k):
                if A[x+i][y+j] % 2 == (sub_matrix[i][j] ^ parity):
                    match[i][j] = True
        for i in range(k):
            for j in range(k):
                if not match[i][j]:
                    return False
        return True

    n = len(A)
    for parity in (0, 1):
        for i in range(n-k+1):
            for j in range(n-k+1):
                if A[i][j] % 2 == parity:
                    sub_matrix = []
                    for x in range(k):
                        row = []
                        for y in range(k):
                            row.append(B[i+x][j+y] % 2 == parity)
                        sub_matrix.append(row)
                    if check(sub_matrix, k):
                        return True
    return False

A = [[1, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 1]]
B = [[1, 0, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 0]]
k = 2

result = CanTransform(A, B, k)
print(result)

返回markdown格式的代码片段：

```python
def CanTransform(A, B, k):
    '''判断是否可以将矩阵A转换为矩阵B'''
    def check(sub_matrix, k):
        '''判断子矩阵是否与矩阵A可以匹配'''
        match = [[False for _ in range(k)] for _ in range(k)]
        for i in range(k):
            for j in range(k):
                if A[x+i][y+j] % 2 == (sub_matrix[i][j] ^ parity):
                    match[i][j] = True
        for i in range(k):
            for j in range(k):
                if not match[i][j]:
                    return False
        return True

    n = len(A)
    for parity in (0, 1):
        for i in range(n-k+1):
            for j in range(n-k+1):
                if A[i][j] % 2 == parity:
                    sub_matrix = []
                    for x in range(k):
                        row = []
                        for y in range(k):
                            row.append(B[i+x][j+y] % 2 == parity)
                        sub_matrix.append(row)
                    if check(sub_matrix, k):
                        return True
    return False

A = [[1, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 1]]
B = [[1, 0, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 0]]
k = 2

result = CanTransform(A, B, k)
print(result)