更新查询的行和列后给定方阵中的空单元格计数

简介

本文介绍一种计算给定方阵中空单元格数量的算法，该算法可以在更新查询的行和列后动态地计数。算法的时间复杂度为O(n)，其中n是方阵的大小。

算法原理

该算法的关键在于理解二维数组中空单元格的特点。对于一个M行N列的二维数组，如果一个单元格值为空，则该单元格所在的行和列的其他单元格都需要被标记为“空单元格”。因此，我们可以用两个一维数组来记录每一行和每一列中空单元格的数量。

算法的具体步骤如下：

1. 初始化一个M*N的二维数组和两个长度为M和N的一维数组，用来记录每一行和每一列中空单元格的数量；
2. 查询某一个单元格的值是否为空，并更新该单元格的值；
3. 如果单元格的值为空，则遍历该单元格所在的行和列，并将其中未被标记为“空单元格”的单元格标记为“空单元格”，同时更新该单元格所在行和列的计数器；
4. 统计所有被标记为“空单元格”的单元格数量，并返回结果。

下面是Python实现该算法的代码：

class Solution:
    def __init__(self, matrix: List[List[int]]):
        self.matrix = matrix
        self.m = len(matrix)
        self.n = len(matrix[0])
        self.row_count = [0] * self.m
        self.col_count = [0] * self.n
        
        for i in range(self.m):
            for j in range(self.n):
                if matrix[i][j] == 0:
                    self.row_count[i] += 1
                    self.col_count[j] += 1

    def update(self, row: int, col: int, val: int) -> None:
        if self.matrix[row][col] == 0 and val != 0:
            self.row_count[row] -= 1
            self.col_count[col] -= 1
        elif self.matrix[row][col] != 0 and val == 0:
            self.row_count[row] += 1
            self.col_count[col] += 1
            
        self.matrix[row][col] = val

    def count(self) -> int:
        res = 0
        for i in range(self.m):
            for j in range(self.n):
                if self.matrix[i][j] == 0 and self.row_count[i] + self.col_count[j] == 2:
                    res += 1
        return res

性能分析

该算法的时间复杂度为O(n)，其中n是方阵的大小。空间复杂度为O(m+n)，其中m和n分别是方阵的行数和列数。算法的性能与方阵的大小有关，但与方阵中真实空单元格的数量无关。因此，该算法适用于稠密和稀疏的方阵。