LIS 的变化 | DP-21

本文将介绍关于计算机科学中的最长上升子序列（LIS）问题以及其中一种解决方案——动态规划法（DP-21）。我们将从以下几个方面进行讨论：

1. LIS问题的定义
2. 朴素解决方案
3. 动态规划解决方案
4. 代码实现
5. 变化与拓展

1. LIS 问题的定义

最长上升子序列（LIS）是指在一个无序的序列中找到一个尽可能长的，且各元素单调递增的子序列。例如，序列 [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18] 的 LIS 是 [2, 3, 7, 18]。

2. 朴素解决方案

朴素的解决方案是枚举所有可能的子序列，判断其中哪些是上升的，然后选择其中最长的一个。这种方法的时间复杂度为 $O(2^n)$，因为对于一个长度为 n 的序列，它有 $2^n$ 种可能的子序列。

3. 动态规划解决方案

动态规划可以优化朴素解决方案，使其时间复杂度降到 $O(n^2)$。基本思想是维护一个以 i 结尾的序列的最长上升子序列长度 $dp_i$，对于每个 $i$，从 $1$ 到 $i-1$ 枚举前面的元素 $j$，如果 $j$ 小于 $i$ 且 $dp_j+1 > dp_i$，则更新 $dp_i = dp_j+1$。最后，选出所有 $dp_i$ 中的最大值，即为 LIS 的长度。

4. 代码实现

def lengthOfLIS(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

5. 变化与拓展

LIS 问题还有许多变体和拓展，常见的包括：

• 最长下降子序列（LDS）：求一个序列中最长的单调下降子序列。
• 最长不降子序列（LNS）：求一个序列中最长的不下降子序列。
• 换钞问题（Coin Change）：给出一些面额不同的硬币和一个总金额，问最少需要多少枚硬币才能凑出这个金额。
• 最长公共子序列（LCS）：求两个序列中最长的公共子序列长度。

这些变体和拓展同样可以使用动态规划算法进行解决。学习和掌握动态规划算法，对程序员而言是非常重要的一项技能。