布尔括号问题 | DP-37

介绍

布尔括号问题是指给出由'0'、'1'和运算符号'&'、'|'、'^'组成的布尔表达式字符串，求该表达式的结果为真的布尔括号表达式的个数。

例如，输入字符串为"1^0|0|1"，其真值为1，可能的括号表示形式有两种：(1^(0|(0|1)))和((1^0)|(0|1))。

算法

这个问题可以通过动态规划算法解决。我们可以定义二维的DP数组 dp[i][j] 表示子串 S[i...j] 的结果为真的布尔括号表达式的个数。其中，i 和 j 是子串 S 的起始和结束索引。

• 如果 S[i...j] 只包含一个字符，那么 DP 数组为：

    dp[i][i] = 1    # 如果 S[i] 是 '1'，否则为 0
  

• 如果 S[i...j] 包含多个字符，那么我们可以枚举其操作符位置 k，然后将 S 分成两个子串：S[i...k-1] 和 S[k+1...j]。然后我们可以利用运算符计算 S[i...k-1] 和 S[k+1...j] 的结果，然后我们可以使用以下方式更新 DP 数组：

    if operation == '&':
        # 当且仅当左右子串的结果都为真时，整个子串的结果才为真
        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]
    elif operation == '|':
        # 当左右子串中至少有一个为真时，整个子串的结果才为真
        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]
        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]
        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]
    elif operation == '^':
        # 当左右子串的结果不同时，整个子串的结果才为真
        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]
        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]
  

最终的结果可以通过访问 DP 数组 dp[0][n-1] 得到，其中 n 是字符串 S 的长度。

代码实现

下面是 Python3 语言的代码实现：

def bool_parenthesis(S):
    n = len(S)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        if S[i] == '1' or S[i] == '0':
            dp[i][i] = 1 if S[i] == '1' else 0

    for L in range(3, n+1, 2):
        for i in range(n-L+1):
            j = i + L - 1
            for k in range(i+1, j, 2):
                left = S[i:k]
                right = S[k+1:j+1]
                for op in ['&', '|', '^']:
                    if S[k] != op:
                        continue
                    if op == '&':
                        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]
                    elif op == '|':
                        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]
                        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]
                        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]
                    elif op == '^':
                        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]
                        dp[i][j] += dp[i][k-1] * dp[k+1][j]

    return dp[0][n-1]

总结

布尔括号问题是经典的动态规划问题，通过定义适当的状态表示和状态转移方程，我们可以以时间复杂度 O(N^3) 解决它。