单向链表上的二分搜索

二分搜索（Binary Search），也叫折半搜索，是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法。优点在于比较次数少，查找速度快，时间复杂度为O(log2n)。但是由于需要有序数组作为前提条件，而在单向链表上，难以保证有序性，因此需要对算法进行一些改进。

问题分析

在单向链表上实现二分搜索，主要遇到两个问题：

1. 难以查找链表的中间节点，因为单向链表只能从前往后遍历。
2. 单向链表不具备数组的下标，无法直接访问中间节点。

因此，我们需要找到一个可行的方案，解决以上两个问题。

解决方案

1. 查找链表中间节点

因为单向链表只能从前往后遍历，我们无法像数组一样通过下标直接访问中间节点。但是，我们可以通过快慢指针的方式来查找链表中间节点。

具体来说，我们设定两个指针，一个指针每次向后移动一格，另一个指针每次向后移动两格。当快指针到达链表尾部时，慢指针恰好指向链表的中间节点。

2. 访问链表节点

对于数组来说，我们可以通过下标访问其中的元素。而对于单向链表，我们可以通过遍历来访问其中的节点。因此，在算法的实现过程中，我们需要遍历链表，访问其中的节点。

代码实现

以下是在单向链表上实现二分搜索的代码。代码使用Java语言编写。

/**
 * 在单向链表上实现二分搜索
 * 时间复杂度为O(log2n)
 */
public class BinarySearch {

    /**
     * @param head 单向链表的表头节点
     * @param value 要搜索的值
     * @return 如果单向链表中包含value，则返回节点的索引（从0开始），否则返回-1
     */
    public static int binarySearch(Node head, int value) {
        //首先需要计算链表的长度
        int length = getLength(head);

        //初始化左右指针的位置
        int left = 0;
        int right = length - 1;

        //不断缩小[left, right]的区间范围，直到left>right
        while (left <= right) {
            //计算中间节点的索引
            int mid = (left + right) / 2;

            //访问中间节点
            Node midNode = getNode(head, mid);

            //比较中间节点的值与要搜索的值，然后缩小区间范围
            if (midNode.value == value) {
                //找到了要搜索的值，返回节点索引
                return mid;
            } else if (midNode.value < value) {
                //要搜索的值在[mid+1, right]中
                left = mid + 1;
            } else {
                //要搜索的值在[left, mid-1]中
                right = mid - 1;
            }
        }

        //如果没有找到要搜索的值，返回-1
        return -1;
    }

    /**
     * 获取单向链表的长度
     */
    private static int getLength(Node head) {
        int length = 0;
        Node node = head;

        while (node != null) {
            length++;
            node = node.next;
        }

        return length;
    }

    /**
     * 获取单向链表的第index个节点
     */
    private static Node getNode(Node head, int index) {
        Node node = head;

        for (int i = 0; i < index; i++) {
            node = node.next;
        }

        return node;
    }

    //定义单向链表的节点
    static class Node {
        int value;
        Node next;

        public Node(int value) {
            this.value = value;
        }
    }
}

思考题

通过快慢指针方式查找链表的中间节点，定义中“中间节点”是指第n/2个节点，n为链表长度。请思考：如果定义中“中间节点”是指第(n+1)/2个节点，如何修改算法？修改后的时间复杂度是否还是O(log2n)？

总结

本文介绍了在单向链表上实现二分搜索的方案。通过快慢指针查找链表中间节点，再通过遍历访问链表节点，实现了算法的改进。在算法实现过程中，需要注意对边界情况的处理，以及防止出现空指针异常。