题目介绍

给定一个正整数N，计数通过遵循以下规则将N减少到1所需的步数：

• 如果N是偶数，则将其除以2。
• 如果N是奇数，则减去1或加上1（可以选择）。

解决方案

很明显，这是一道动态规划问题。我们可以想象，从1开始，一步步往上增加数字，每一个数字都可以根据前面的数字得到。

因为只有两种方式可以达到当前数字，所以我们需要比较两种方式得到的结果，选择最小的那个。

如何表示子问题？我们可以使用一个数组，将每一个数字的步数记录下来。

代码如下：

def steps_to_one(n):
    # 初始化数组，默认为0
    dp = [0] * (n+1)
    # 从2开始计算，因为1不需要计算
    for i in range(2, n+1):
        # 默认情况下，当前数字减1会比加1好
        dp[i] = dp[i-1] + 1
        # 如果当前数字可以被2整除，那么除以2肯定更好
        if i % 2 == 0:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i//2] + 1)
    # 返回n的步数
    return dp[n]

这段代码的时间复杂度是O(n)，因为我们需要计算每一个数字的步数。

总结

本题是一道经典的动态规划问题，适合初学者练习。我们需要将问题分解成子问题，并且使用一个数组来记录每一个数字的步数。最后根据子问题的结果，得到最终的答案。

完整代码如下：

def steps_to_one(n):
    # 初始化数组，默认为0
    dp = [0] * (n+1)
    # 从2开始计算，因为1不需要计算
    for i in range(2, n+1):
        # 默认情况下，当前数字减1会比加1好
        dp[i] = dp[i-1] + 1
        # 如果当前数字可以被2整除，那么除以2肯定更好
        if i % 2 == 0:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i//2] + 1)
    # 返回n的步数
    return dp[n]