题目描述

给定一个正整数 N 和 M，找到 N 的最小除数 D，使得 gcd(D, M) 大于 1。

解决方案

我们可以枚举 N 的因子 D，并检查 D 是否是 M 的因子并且 gcd(D, M) 大于 1。如果找到了这样的 D，就直接返回它。否则，说明不存在满足条件的 D。

注意到 N 的因子是比 N 的平方根小的，因此枚举的范围可以缩小到 O(sqrt(N))。

代码实现

以下是 Python 语言的代码实现：

import math

def find_min_divisor(N, M):
    for D in range(2, int(math.sqrt(N)) + 1):
        if N % D == 0 and M % D == 0:
            return D
    return None

# 示例用法
N = 24
M = 45
D = find_min_divisor(N, M)
if D is not None:
    print("N 的最小除数 D 为", D)
else:
    print("不存在满足条件的 D")

复杂度分析

上述算法的时间复杂度为 O(sqrt(N))，即枚举 N 的因子的个数。由于 N 的因子个数最多为 O(sqrt(N))，因此算法的时间复杂度是正确的。

此外，算法还需要使用 O(1) 的空间来存储计算出的 D，并使用 O(1) 的额外空间来存储中间变量。因此，算法的空间复杂度也是 O(1)。

总结

本文介绍了如何找到一个正整数 N 的最小除数 D，使得 gcd(D, M) 大于 1。算法的时间复杂度为 O(sqrt(N))，空间复杂度为 O(1)。