河内的扭曲塔问题

简介

河内塔问题是指有三根柱子A、B、C。A柱子上有n个直径大小各不相同，从小到大编号为1~n的圆盘，按大小顺序叠放，大盘子在下，小盘子在上。要求将所有盘子移动到C柱子上，在移动过程中可以借助B柱子，但要保证每根柱子上的圆盘顺序不变。河内的扭曲塔问题则是在河内塔问题的基础上，增加了对一根柱子进行“扭曲”的操作，即不同大小圆盘的不同操作次数不同。

解法

递归法

在河内塔问题中，我们可以发现一个规律：假设起始时有n个盘子，把n-1个盘子从A柱子经过B柱子移动到C柱子，再把剩下的一个盘子从A柱子移动到C柱子即可完成整个移动过程。

而在河内的扭曲塔问题中，因为需要对某一根柱子进行“扭曲”，所以对于每个盘子的移动，需要分别在A、B、C三根柱子中进行。这样，我们需要分别定义三种情况下的移动过程。

以A柱子为例，我们可以定义以下递归步骤：

1. 将n-1个盘子从A柱子经过B柱子移动到D柱子，此时不同大小圆盘的不同操作次数为：大盘子一次，中盘子两次，小盘子三次。

2. 将最大的盘子从A柱子移动到B柱子，此时大盘子、中盘子、小盘子的操作次数都会加上1。

3. 将n-1个盘子从D柱子经过B柱子移动到C柱子，此时不同大小圆盘的不同操作次数为：大盘子一次，中盘子两次，小盘子三次。

对于B柱子和C柱子的移动操作，也可以采用类似的递归步骤进行。代码实现如下：

def hanoi(n, A, B, C):
    if n == 1:
        C.append(A.pop()) # A柱子最上面的盘子移动到C柱子
        return
    D = []
    T = []
    # A柱子上n-1个盘子经过B柱子移动到D柱子
    hanoi(n-1, A, C, D)
    # A柱子上最大的盘子移动到B柱子
    T.append(A.pop())
    T[-1].count += 1 # 操作次数加1
    B.append(T.pop())
    # D柱子上n-1个盘子经过B柱子移动到C柱子
    hanoi(n-1, D, B, C)

迭代法

另一种实现河内的扭曲塔问题的方法是使用迭代法。将整个移动过程分为三个阶段，每个阶段都是由相应的图形变化引起的。这三个阶段分别是：

1. 初始时，所有的盘子都在A柱子上，按照从上到下、从小到大的顺序排列。

2. 在接下来的移动中，我们假设通过B柱子完成最终将所有盘子移动到C柱子上的过程。此时，我们需要将A柱子上的最小盘子移动到C柱子上，接着将剩下的盘子依次移动到B柱子上，最后将C柱子上的所有盘子移动到B柱子上，此时所有盘子都在B柱子上。

3. 在最后的移动中，我们将B柱子作为初始柱子，其余两根柱子作为目标柱子，按照与步骤2相反的顺序进行移动，最终让所有盘子移动到目标柱子上。

每个阶段的具体变化如下：

1. 初始时：

A 321
B 
C 

2. 按照上述定义的移动顺序进行移动，将所有盘子移动到B柱子上，变化如下：

A 3
B 21
C 

A 
B 21
C 3

A 
B 
C 321

3. 按照与步骤2相反的顺序进行移动，将所有盘子移动到C柱子上，变化如下：

A 
B 
C 21

A 3
B 
C 21

A 3
B 2
C 1

A 
B 23
C 1

A 1
B 23
C 

A 1
B 
C 23

A 
B 
C 321

代码实现如下：

def hanoi(n, A, B, C):
    for i in range(1, n+1):
        A.append(Disk(i, count=0)) # 创建n个盘子并按顺序加入A柱子

    for i in range(1, 2**n):
        if i % 3 == 1:
            move(A, C)
        elif i % 3 == 2:
            move(A, B)
        elif i % 3 == 0:
            move(B, C)

def move(start, end):
    if not start:
        start.append(end.pop())
    elif not end:
        end.append(start.pop())
    elif start[-1].size > end[-1].size:
        start.append(end.pop())
    else:
        end.append(start.pop())
    if start == A and end == C: # 如果将盘子从A柱子移动到C柱子，则输出各个盘子的操作次数
        for i in range(1, Disk.count+1):
            print("Disk "+str(i)+": "+str(Disk.occur[i]))
            Disk.occur[i] = 0

class Disk(object):
    count = 0 # 记录操作次数
    occur = {} # 记录每个盘子的操作次数
    def __init__(self, size, count):
        self.size = size
        self.count = count
        Disk.count += 1
        Disk.occur[Disk.count] = 0

    def __repr__(self):
        return str(self.size)

结论

河内的扭曲塔问题是河内塔问题的一种扩展形式，对于程序员而言，使用递归法和迭代法均可解决该问题。在递归法中，需要根据不同情况定义递归步骤；在迭代法中，需要将移动过程分为三个阶段，并定义每个阶段的具体变化。