门| GATE-CS-2003 |第 73 题

这个题目是 GATE-CS-2003 的第 73 题，它是一个算法问题。

题目描述

有一个二叉树 $T$，其中每个节点都有一个整数值。一条从根节点到叶节点的路径的“代价”定义为路径上所有节点的值之和。定义一条路径是“最小的代价路径”，当且仅当其代价小于等于所有其他路径的代价。

现在，给定一个二叉树 $T$，请编写一个算法，对于每个节点 $v$，找到以 $v$ 为根的子树中代价最小的路径，并在每个节点 $v$ 上记录下该最小代价。

算法思路

这是一个比较典型的动态规划问题。我们可以定义一个函数 $f(v)$ 表示以节点 $v$ 为根的子树中，代价最小的路径，其中 $v$ 为根节点。

对于任意一个节点 $v$，它的子树中代价最小的路径可以分为两种情况：一是路径经过 $v$，二是路径不经过 $v$。

当路径经过 $v$ 时，其代价可以表示为 $f(v)$ 加上 $v$ 的值。而当路径不经过 $v$ 时，其代价为以 $v$ 的左右子节点为根的子树中的最小代价之和，即 $f(v.left) + f(v.right)$。因此，我们可以得到如下递推式：

$$f(v) = \min{v.val, f(v.left) + f(v.right)}$$

这个递推式的意义是，节点 $v$ 的最小代价等于 $v$ 自身的值和其左右子节点代价之和的最小值。

根据上述递推式，在使用递归算法时，我们需要保证每个节点的子节点的最小代价已经求解过。因此，我们可以采用后序遍历的方法，先求解子节点的最小代价，再求解根节点的最小代价。

代码实现

见以下 Python 代码片段：

class TreeNode:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None

def minimum_path_cost(root):
    def dfs(node):
        nonlocal ans
        if not node:
            return 0
        
        left_cost = dfs(node.left)
        right_cost = dfs(node.right)
        ans = min(ans, node.val + left_cost + right_cost)
        
        return min(node.val, left_cost + node.val, right_cost + node.val)
    
    ans = float("inf")
    dfs(root)
    return ans

其中，minimum_path_cost 函数即为主函数，实现了求解整棵二叉树的最小代价。

具体而言，我们首先使用一个递归的 DFS 函数 dfs(node)，它可以求解以 node 为根节点的子树的最小代价。这个函数基于上述递推式实现，同时借助了下面三个变量：

• ans：用于保存整棵二叉树的最小代价，初值设为正无穷。
• left_cost：表示以 node 的左子节点为根的子树的最小代价。
• right_cost：表示以 node 的右子节点为根的子树的最小代价。

最后，主函数返回 ans，即整棵二叉树的最小代价。