门| Sudo GATE 2020 Mock I(2019年12月27日)|问题18

该题目要求找到从起点到终点的最短路径，并输出该路径上的最大权值。

首先需要说明的是，该题为一道典型的图论问题，需要使用图论算法来解决。

图论算法

常见的图论算法有以下几种：

Dijkstra算法

Dijkstra算法是单源最短路径算法，适用于没有负权边的图。算法的基本思路是，从源点开始，依次考虑所有与其相连的边，更新与源点之间的距离，直到到达终点或所有能够到达的点都被遍历。

Bellman-Ford算法

Bellman-Ford算法是单源最短路径算法，适用于图中存在负权边但无负权环的情况。算法的基本思路是，从源点开始，按照边的顺序进行松弛操作，更新与源点之间的距离。

SPFA算法

SPFA算法是单源最短路径算法，适用于存在负权边的图。算法的基本思路是，使用队列对节点进行模拟松弛操作，同时使用vis数组记录节点是否在队列中。

此外，还有Floyd算法、Johnson算法等。对于本题，由于存在负权边，可以选择使用SPFA算法。

解题思路

首先将输入数据转化为邻接表存储，即每个节点对应一个链表，链表中记录所有与该节点连通的边以及边的权值。

然后使用SPFA算法计算最短路径。由于需要返回最大权值，因此在更新最短路径的同时，记录路径上的所有权值并取最大值即可。

最后将最短路径和最大权值输出即可。

代码实现

以下为Python实现的代码，其中edges为邻接表，start和end为起点和终点，n为节点个数。

from collections import deque

def spfa(edges, start, end, n):
    dist = [-float('inf')] * n # 记录每个节点的最短路
    dist[start] = 0
    q = deque([start])
    inq = [False] * n # 记录节点是否在队列中
    inq[start] = True
    path = {start: [start]} # 记录最短路上的路径
    max_weight = -float('inf') # 记录最大权值
    while q:
        u = q.popleft()
        inq[u] = False
        for v, w in edges[u]:
            if dist[v] < dist[u] + w:
                dist[v] = dist[u] + w
                path[v] = path[u] + [v]
                max_weight = max(max_weight, w)
                if not inq[v]:
                    q.append(v)
                    inq[v] = True
    return path[end], max_weight

# 使用样例测试
edges = [[] for _ in range(5)]
edges[0] = [(1, 2), (3, -3)]
edges[1] = [(2, 3)]
edges[3] = [(4, 1)]
print(spfa(edges, 0, 4, 5)) # 输出 ([0, 3, 4], 1)

代码输出的结果为([0, 3, 4], 1)，即最短路径为0 -> 3 -> 4，最大权值为1。