动态规划方法求解具有给定OR值的最长子序列

简介

本文将介绍如何使用动态规划方法求解具有给定OR值的最长子序列问题。具体来说，给定一个正整数集合 S，以及一个正整数 target，要求找到 S 中最长的子序列，使得该子序列中所有元素的按位或（OR）值为 target。本问题也被称作“具有给定OR值的最长子序列问题”。

状态定义

假设当前已经处理到 S 的第 i 个元素，并且已经得到了以第 i-1 个元素为结尾的所有满足 OR 值为 target 的最长子序列。我们用 dp[i][j] 表示以下标小于等于 i 的元素中，所有满足 OR 值为 j 的最长子序列的长度。因此，最终我们需要求得的答案即为 dp[n-1][target]，其中 n 是集合 S 的元素个数。

状态转移方程

考虑元素 S[i] 对答案的影响。根据按位或的定义，元素 S[i] 能够影响到的子序列中，它自身肯定会出现在子序列中。因此，我们需要在考虑以 S[i] 结尾的子序列的同时，将 S[i] 的值 OR 上之前的所有状态。具体来说，我们可以枚举所有满足 0 <= k <= j 的 k，并在 dp[i-1][k] 的基础上，在末尾加上元素 S[i]，从而得到一些满足 OR 值为 j 的子序列。现在我们需要考虑如何选取最长的一个子序列。因为我们已经在它们前面加上了 S[i]，所以最长的子序列一定是包含元素 S[i] 的。对于每个 k，我们可以将 S[i] 添加到满足 OR 值为 k 的最长子序列的末尾，从而得到一个满足 OR 值为 j 的子序列。因此，我们可以定义状态转移方程如下：

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][k]+1) if (j or S[i]) == j for 0 <= k <= j
dp[i][j] = max(dp[i][j], 1) if S[i] == j

其中，dp[i][j] 对应的是以下标小于等于 i 的元素中，所有满足 OR 值为 j 的最长子序列的长度。

时间和空间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(n^2w)$，其中 n 是元素个数，w 是元素的二进制位数。因为我们需要枚举以前面所有元素结尾的所有子序列，所以算法的时间复杂度是 $O(n^2)$ 的。而在更新每个状态时，我们需要做一次 OR 运算，时间复杂度是 $O(w)$ 的。

该算法的空间复杂度为 $O(nw)$，因为我们需要维护一个二维的 DP 表，大小为 $n \times w$。

参考代码

def solve(S, target):
    n, w = len(S), target.bit_length()
    dp = [[0] * (1 << w) for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(1 << w):
            if S[i] == j:
                dp[i][j] = 1
            elif S[i] | j == j:
                for k in range(j+1):
                    if (k | S[i]) == j:
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][k]+1)
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    return max(dp[n-1][target], 0)

在以上代码中，我们使用 DP 表 dp，其中 dp[i][j] 表示以下标小于等于 i 的元素中，所有满足 OR 值为 j 的最长子序列的长度。

算法的核心代码如下所示：

if S[i] == j:
    dp[i][j] = 1
elif S[i] | j == j:
    for k in range(j+1):
        if (k | S[i]) == j:
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][k]+1)
else:
    dp[i][j] = dp[i-1][j]

为了便于理解，我们对每个分支分别进行了注释。

结语

算法解决了具有给定 OR 值的最长子序列问题，时间复杂度为 $O(n^2w)$，空间复杂度为 $O(nw)$。这个算法的思路是比较常规的，只需要注意状态的定义和状态转移方程即可。