门| GATE-CS-2004 |问题 6

本文将介绍GATE-CS-2004考试的第6个问题，该问题涉及到图论中的最短路径算法。

问题描述

给定一个加权有向图，每个边上的权值可以为负数。找出从源节点到目标节点的最短路径。

解决方案

这个问题可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法解决。Dijkstra算法是贪心算法的一种，比Bellman-Ford算法要快，但是它不能处理带有负权边的图。所以，如果图中有负权边，则必须使用Bellman-Ford算法。

Dijkstra算法

Dijkstra算法的主要思想是：从源节点开始，每次选择距离源节点最近的一个未标记节点，将该节点标记为已访问，然后更新与该节点相邻的未标记节点的距离。如此反复，直到标记所有节点或者无法更新距离为止。

以下是Pseudocode：

function Dijkstra(Graph, source):
    dist[source] ← 0
    create vertex set Q

    for each vertex v in Graph:            
        if v ≠ source
            dist[v] ← INFINITY
            prev[v] ← UNDEFINED

        Q.add_with_priority(v, dist[v])

    while Q is not empty:
        u ← Q.extract_min() 
        for each neighbor v of u:   
            alt ← dist[u] + length(u, v)
            if alt < dist[v]
                dist[v] ← alt
                prev[v] ← u
                Q.decrease_priority(v, alt)

    return dist, prev

Bellman-Ford算法

Bellman-Ford算法比Dijkstra算法要慢，但是可以处理带有负权边的图。Bellman-Ford算法的主要思想是，从源节点开始，反复进行一下操作：对每个节点u，对所有从u出发的边进行松弛操作。松弛操作就是：如果从源节点到u的距离加上u到v的距离小于源节点到v的距离，则更新源节点到v的距离。

以下是Pseudocode：

function BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
    ::distance[],predecessor[]

    // This implementation takes in a graph, represented as
    // lists of vertices and edges, and fills two arrays
    // (distance and predecessor) with shortest-path
    // (less cost/distance/metric) information

    // Step 1: initialize graph
    for each vertex v in vertices:
        distance[v] := inf             // Initialize the distance to all vertices to infinity
        predecessor[v] := null         // And having a null predecessor

    distance[source] := 0              // The distance from the source to itself is zero

    // Step 2: relax edges repeatedly
    for i from 1 to size(vertices)-1:
        for each edge (u, v, w) with weight w in edges:
            if distance[u] + w < distance[v]:
                distance[v] := distance[u] + w
                predecessor[v] := u

    // Step 3: check for negative-weight cycles
    for each edge (u, v, w) with weight w in edges:
        if distance[u] + w < distance[v]:
            error "Graph contains a negative-weight cycle"

    return distance, predecessor

总结

对于加权有向图中的最短路径问题，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的算法。Dijkstra算法比Bellman-Ford算法要快，但是不能处理负权边，而Bellman-Ford算法则可以处理带有负权边的图。在实现时，需要注意处理边界条件以及错误情况。