Eratosthenes筛

简介

Eratosthenes筛是一种用于产生小于或等于给定上限的所有质数的算法。该算法的名称来源于希腊数学家Eratosthenes，他在公元前3世纪发明了这个方法。

该筛选算法的基本思想是从2开始，依次找到当前最小的未被筛选的素数，并删除该素数的倍数。通过重复这个步骤，最终得到所有小于或等于给定上限的素数。

算法步骤

下面描述了Eratosthenes筛的算法步骤：

1. 创建一个布尔数组isPrime，长度为上限。
2. 将数组中所有元素初始化为true，表示所有数字都是素数。
3. 设置isPrime[0]和isPrime[1]为false，因为0和1不是素数。
4. 从2开始，遍历数组中的每个数字，直到达到给定上限的平方根（可证明所有大于该平方根的非素数已被删除）。
5. 对于当前数字num，如果isPrime[num]为true，则遍历num的所有倍数，并将它们标记为false。
6. 循环结束后，数组中仍为true的数字即为素数。

示例代码

下面是一个用Python实现Eratosthenes筛的示例代码：

def eratosthenes_sieve(limit):
    is_prime = [True] * (limit + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False

    for num in range(2, int(limit ** 0.5) + 1):
        if is_prime[num]:
            for multiple in range(num * num, limit + 1, num):
                is_prime[multiple] = False

    primes = [num for num, is_p in enumerate(is_prime) if is_p]
    return primes

此代码定义了一个名为eratosthenes_sieve的函数，该函数接受一个上限参数，并返回小于或等于该上限的所有素数的列表。

使用示例

通过调用eratosthenes_sieve函数，可以获取给定上限下的所有素数。例如：

limit = 100
primes = eratosthenes_sieve(limit)
print(primes)

输出：

[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

上述代码找到了小于或等于100的所有素数并将其打印出来。

结论

Eratosthenes筛是一种高效的算法，用于生成小于或等于给定上限的所有素数。它的时间复杂度为O(n log(log n))，其中n是上限。使用该算法，程序员可以快速找到和处理素数。