古尔德的序列

简介

古尔德的序列（Golomb Sequence）是一个数列，它是根据其长度来定义的。该数列首项为 1，第 $n$ 项的值为 $1$ 到 $n$ 中不含 $n$ 二进制表示中 $1$ 数量（也称 Hamming Weight）的整数。

古尔德的序列经常出现在信息论和密码学领域中，常常用作序列元素编号。

定义

定义古尔德序列 $G(n)$ 为其长度 $n$ 的确定方式如下：

$$ G(x) = i, \text{ 若且仅若 } x - G(G(x-1)) \equiv 0 \pmod{i} $$

其中 $x \in \mathbb{N^+}, i \in \mathbb{N_0^+}$，$G(1)= 1$。

举例

以 $n=8$ 为例，按定义求得古尔德序列如下：

$$ G(1)=1, G(2)=2, G(3)=2, G(4)=3, G(5)=3, G(6)=3, G(7)=4, G(8)=4 $$

数列图示如下：

1 2 2 3 3 3 4 4

应用场景

信息论

由于古尔德序列的无序和平衡性质，常常在信息论中被用来生成无损的哈夫曼编码或其他熵编码。

密码学

古尔德序列被广泛应用于密码学的伪随机数生成器中。通过古尔德序列进行加密，可以有效地降低密码分析的成功率，从而提高密码算法的安全性。

实现

以下为 Python 实现古尔德序列的代码：

def golomb_sequence(n: int) -> List[int]:
    sequence = [1]  # 初始化序列
    for i in range(1, n):
        j = i - sequence[sequence[i-1]-1] if sequence[i-1] <= i else 0
        sequence.append(sequence[i-1] + j)
        
    return sequence

其中 n 为序列长度，返回一个列表类型的古尔德序列。

总结

古尔德序列是一个有趣的数学序列，常常出现在信息论和密码学中。通过程序实现，我们对其定义和应用有了更深入的理解。