排列给定的数字以形成最大的数字

在很多场合下，我们需要将一些数字排列组合成一个最大的数字。例如，有一个数字序列 [50, 2, 1, 9]，我们可以将它们排列组合成 95021，得到一个更大的数字。那么，我们如何编程实现这个操作呢？

算法

一个显而易见的解法是，先将数字序列中的每个数字都转化为字符串，然后按照字符串的字典序进行排序，最后将它们连接起来。例如，针对上述数字序列，我们有以下代码：

def largest_number(nums):
    nums = [str(num) for num in nums]
    nums.sort(reverse=True)
    return ''.join(nums)

nums = [50, 2, 1, 9]
print(largest_number(nums))  # 输出 95021

上述代码中，我们首先遍历数字序列，将每个数字都转化为字符串，然后调用 sort 函数按照字符串的字典序进行排序，最后将排序好的字符串依次连接起来即可。这个解法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，其中 $n$ 是数字序列的长度。

不过，这个解法存在一个问题，就是当数字序列中的某些数字存在前缀相同的情况时，字典序排序的结果可能并不是最优解。例如，序列 [3, 30, 34, 5, 9]，按照上述算法得到的结果是 9534330，但最优解应该是 9534303。

那么，如何解决这个问题呢？我们可以尝试重新定义两个数字之间的大小关系。具体来说，对于两个数字 $x$ 和 $y$，我们判断 $x$ 和 $y$ 谁应该排在前面，可以按照以下策略：

• 如果将 $x$ 和 $y$ 拼接起来得到的数字 $xy$ 大于 $yx$，那么应该将 $x$ 排在 $y$ 的前面；
• 如果将 $x$ 和 $y$ 拼接起来得到的数字 $xy$ 小于 $yx$，那么应该将 $y$ 排在 $x$ 的前面；
• 如果将 $x$ 和 $y$ 拼接起来得到的数字 $xy$ 等于 $yx$，那么无所谓谁排在前面。

这样一来，我们就可以用类似快排的方法将数字序列中的所有数按照上述大小关系进行排序，最后将排序好的数字连接起来就可以得到最大的数字。

下面是这个算法的代码实现：

def largest_number(nums):
    def compare(x, y):
        if int(x+y) > int(y+x):
            return -1
        elif int(x+y) < int(y+x):
            return 1
        else:
            return 0

    nums = [str(num) for num in nums]
    nums.sort(key=functools.cmp_to_key(compare))
    return str(int(''.join(nums)))

nums = [3, 30, 34, 5, 9]
print(largest_number(nums))  # 输出 9534303

这个算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，其中 $n$ 是数字序列的长度。总体来说，这个算法比起字典序排序算法更加优秀，值得在需要求解类似问题时采用。

结语

排列给定的数字以形成最大的数字是一道很好的算法问题，它可以帮助我们理解基于排序的算法设计和字符串相关的技巧。希望这个文章能对读者有所帮助！