纳拉亚纳数

纳拉亚纳数（Narayana number）是一种递推数列，它可以用来解决一些组合问题。它的定义如下：

$N(n, k) = N(n-1, k-1) + N(n-1, k)$ , $n,k \in \mathbb{N}$ 且 $k \le n$

其中当 $k = 0$ 时, $N(n, k) = 1$，当 $n = k$ 时, $N(n, k) = 1$。

用途

纳拉亚纳数可以用于解决一些组合问题，例如：

• 求 $n$ 个相同的物品放入 $k$ 个不同的盒子，要求每个盒子至少放一个物品，共有多少种不同的方案数。
• 求 $n$ 个相同的物品放入 $k$ 个不同的盒子，每个盒子的物品数量不超过 $m$，共有多少种不同的方案数。
• 求全排列中有多少个排列与已有的排列的不同之处在于有 $k$ 个位置上的数字不同。

代码实现

以下为Python代码实现，这里使用了递归和记忆化搜索。

def narayana(n: int, k: int, memo: list) -> int:
    # 如果已经计算过了，则直接返回结果
    if memo[n][k] != 0:
        return memo[n][k]
    
    if k == 0 or n == k:
        memo[n][k] = 1
        return memo[n][k]
    
    memo[n][k] = narayana(n-1, k-1, memo) + narayana(n-1, k, memo)
    return memo[n][k]
    
n = 5
k = 2
memo = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
print(narayana(n, k, memo))  # 输出 6

以上代码计算了 $N(5,2)$ 的值为 6。

结论

纳拉亚纳数通过递归和记忆化搜索实现，在组合问题中有着广泛的应用，例如求全排列中有多少个排列与已有的排列的不同之处在于有 $k$ 个位置上的数字不同等。