数组中给定索引范围的GCD

本文将介绍如何在数组中给定索引范围内查找最大公约数。

问题描述

给定一个数组，一个查询列表，每个查询包括左右索引（闭区间），需要在数组中找到此区间内所有元素的最大公约数（GCD）。

解法

算法说明

一种直接的做法是对于每个查询，扫描此区间内的所有数，并计算它们的GCD。这种做法的时间复杂度为O(n * m)，其中n是数组长度，m是查询数量。当n和m都很大时程序的运行时间可能很长，需要改进。

一种更有效的做法是使用线段树。线段树是一种很常用的数据结构，它可以较快地求一个区间内的最大、最小、和、乘积等等。我们可以使用线段树来实现上述问题。

在线段树中，每个节点代表一个区间，每个节点拥有一个值（该区间内所有数的GCD）。当查询一个区间时，我们需要向下查询，直到找到此节点所代表的区间与查询区间相同或者包含组的另一个区间。这样做最多需要访问线段树的4 * log(n)个节点（其中n是数组长度）。

此外，我们还可以使用欧几里得算法快速求解一个区间内所有的数的最大公约数。

代码实现

首先，我们需要实现一个欧几里得算法求解两个数的最大公约数：

def gcd(a: int, b: int) -> int:
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

接下来，我们来实现一个线段树。线段树的每个节点包含一个区间[start, end]以及一个值gcd，表示从start到end的最大公约数。

class SegmentTreeNode:
    def __init__(self, start: int, end: int, gcd: int):
        self.start = start # 区间左端点
        self.end = end     # 区间右端点
        self.gcd = gcd     # 区间最大公约数
        self.left = None   # 左子节点
        self.right = None  # 右子节点
    
class SegmentTree:
    def __init__(self, nums: List[int]):
        self.root = self.build(nums, 0, len(nums) - 1)

    def build(self, nums: List[int], start: int, end: int) -> SegmentTreeNode:
        """
        递归构建线段树
        """
        if start == end:
            return SegmentTreeNode(start, end, nums[start])
        mid = (start + end) // 2
        left_node = self.build(nums, start, mid)
        right_node = self.build(nums, mid + 1, end)
        return SegmentTreeNode(start, end, gcd(left_node.gcd, right_node.gcd))
    
    def query(self, node: SegmentTreeNode, start: int, end: int) -> int:
        """
        查询线段树的值
        """
        if node.start == start and node.end == end:
            return node.gcd
        mid = (node.start + node.end) // 2
        if end <= mid:
            return self.query(node.left, start, end)
        elif start > mid:
            return self.query(node.right, start, end)
        else:
            return gcd(self.query(node.left, start, mid), self.query(node.right, mid+1, end))

现在我们可以使用这个线段树来查询所有给定区间的最大公约数。

def get_gcd_of_range(nums: List[int], queries: List[Tuple[int, int]]) -> List[int]:
    """
    查询所有区间内的最大公约数
    """
    tree = SegmentTree(nums)
    result = []
    for query in queries:
        result.append(tree.query(tree.root, query[0], query[1]))
    return result

总结

在本文中，我们介绍了如何在数组中给定索引范围内查找最大公约数。我们通过使用线段树和欧几里得算法来实现一个O(m * log(n))的方案，其中n是数组长度，m是查询数量。此外，我们还实现了一个简单的查询函数，并附上了它的代码。