补图中的最短路径

在网络中，最短路问题是一个经典的算法问题。在现实生活中，最短路问题有着广泛的应用，比如路线导航、货运配送、电信网络等等。本文将介绍如何求解补图中的最短路径。

首先，我们要了解什么是补图

补图是指有向图G的补图是顶点集相同的有向图，其中如果两个顶点v和w在原有向图G中不存在边，那么在G的补图中就存在从v到w的边。反之亦然。例如，下图是一个有向图和它的补图。

最短路径

最短路径是指从一个起点到一个终点所经过的边或者顶点的权值之和最小。最短路径问题可以用来求解从一个地方到另一个地方的最小代价或最短距离。

为了求解补图中的最短路径，我们需要使用图论中的一个著名的算法，叫做Dijkstra算法。该算法的核心思想是：以起点为中心，不断扩展最短路径的范围，直到到达终点或者所有顶点都被遍历过。

在使用Dijkstra算法求解补图中最短路径之前，我们需要先了解一下有关Dijkstra算法的知识。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径的算法。 主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法采用的是一种贪心的思想，声明一个数组dis来保存源点到各个顶点的最短距离和一个数组book来记录哪些顶点已经被访问过了。初始状态下，原点s的路径权重被赋为0（dis[s] = 0）。若对于顶点sp，存在一条从s到sp的边，路径权重为w，则dis[p]=w，否则dis[p]=+∞。初始时，所有顶点的book值都被初始化为0，表示这些顶点都还没有被访问过。

Dijkstra算法的流程如下：

1. 初始化：将所有的dis数组元素置为INF，book数组元素置为0.
2. 选定起点s，更新与起点s相邻的所有顶点的dis值.
3. 从dis数组中选取一个最小值，将其对应的顶点p加入到集合S(已经确定从起点s到顶点p的最短路程)，并标记为已确定.
4. 更新与顶点p相邻的未确定的顶点的dis值.
5. 重复以上步骤，直到所有顶点都已经被加入集合S.

Dijkstra算法的具体实现如下：

def Dijkstra(s, e, N, G):
    dis = [float('inf')] * N
    book = [0] * N
    dis[s] = 0
    for i in range(N):
        minn = float('inf')
        p = -1
        for j in range(N):
            if book[j] == 0 and dis[j] < minn:
                minn = dis[j]
                p = j
        if p == -1:
            break
        book[p] = 1
        for v in range(N):
            if G[p][v] < float('inf') and dis[v] > dis[p] + G[p][v]:
                dis[v] = dis[p] + G[p][v]
    return dis[e]

补图中的最短路径

对于补图中的最短路径问题，我们需要将原有向图G进行一个简单的转换，即求出原图G的补图G'。然后，我们再使用Dijkstra算法求解G'中的起点s到终点e的最短路径即可。

下面是使用Python实现补图中最短路径的代码：

def get_min_dis(G, s, e):
    N = len(G)
    G_ = [[float('inf')] * N for i in range(N)]
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            if G[i][j] == float('inf'):
                G_[i][j] = 1
            else:
                G_[i][j] = float('inf')
    return Dijkstra(s, e, N, G_)

总结

本文介绍了如何求解补图中的最短路径，并使用Python编写了相应的代码。通过本文的学习，读者可以学会如何使用Dijkstra算法来计算最短路径。该算法的时间复杂度为O(n²)，空间复杂度为O(n)，因此，在实际应用中需要评估其算法复杂度是否符合要求。