连接顶点的按位与最大的无环图

为了构造一个没有循环的图，并且连接顶点的按位与是最大的，我们可以使用一些图论中的技巧。

思路

首先，我们知道，一个无向图没有循环，当且仅当它是一棵树。因此，我们需要构造一棵树，使得连接顶点的按位与是最大的。

接着，我们可以思考如何构造这棵树。我们可以使用贪心算法，按位从高到低枚举每一位，然后根据这一位将所有节点分成两个集合，即该位为1和该位为0的节点。然后，我们将这两个集合内的节点两两连接，并将两个集合之间的节点连接起来。具体过程如下：

1. 从最高位开始枚举每一位。
2. 将这一位为1的节点和为0的节点分别放入两个集合中。
3. 将两个集合内的节点两两连接。
4. 将两个集合之间的节点连接起来。
5. 处理完所有位后，得到的树就为所求。

由于我们是从高位到低位进行处理，所以每个节点之间连接的边的权值也满足从高位到低位不降的性质，也就是按位与最大。

代码

/**
 * 构造一个连接顶点的按位与最大的无环图
 * @param n 节点个数
 */
vector<pair<int, int>> construct_graph(int n) {
    vector<pair<int, int>> edges;
    for (int bit = 31; bit >= 0; bit--) {
        vector<int> ones, zeros;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if ((i >> bit) & 1) ones.push_back(i);
            else zeros.push_back(i);
        }
        for (int u : ones) {
            for (int v : ones) {
                if (u < v) edges.emplace_back(u, v);
            }
        }
        for (int u : zeros) {
            for (int v : zeros) {
                if (u < v) edges.emplace_back(u, v);
            }
        }
        for (int u : ones) {
            for (int v : zeros) {
                edges.emplace_back(u, v);
            }
        }
    }
    return edges;
}

该函数返回一个无向图的边集，每条边的两个端点的编号从1开始，总共n个节点。可以使用该函数构造一个节点数为n的树，连接顶点的按位与最大。