门| GATE MOCK 2017 |第57章

此题为2017年GATE模拟考试中的第57章，考查程序员的算法能力。题目描述如下：

给定一个N × N大小的迷宫（由0和1组成），0代表可以走，1代表障碍物不可通过。现在有一些可以停留的点（由2组成），寻找从起点到达所有可停留点的最短路，需要回到起点。即起点与所有可停留点之间的最短距离之和最小。

请你设计一种算法实现此功能，给出算法时间复杂度以及代码实现。

算法思路

此题为图的最短路算法问题，可以使用Dijkstra算法来解决。Dijkstra算法是一种贪心算法，根据当前节点到起点的距离来选择下一个节点，直到所有节点都被遍历一遍。具体实现如下：

1. 定义一个长度为N的visited数组，用于记录节点是否被遍历过，一个长度为N的dist数组，代表每个节点到起点的距离。
2. 设置起点为当前节点，将visited数组对应的节点设置为已访问。
3. 循环执行以下步骤： a. 对于当前节点的每个邻居节点，如果邻居节点没有被访问过，则计算从起点到该节点的距离，并更新dist数组。如果邻居节点已经被访问过，比较当前计算出的距离是否小于已有的距离，如果小于则更新dist数组。 b. 在未访问节点中选择一个距离起点最近的节点作为下一个节点，重复步骤a，直到所有节点都被访问过。
4. 计算所有可停留点到起点的距离之和，返回最小值。

这个算法的时间复杂度为O(N^2)，因为需要找到未被访问节点中距离起点最近的节点。可以使用堆优化来将时间复杂度降为O(NlogN)。

代码实现

以下是使用python实现的 dijkstra() 函数，使用heap优化，时间复杂度为O(NlogN)：

import heapq

def dijkstra(graph, start, stops):
    N = len(graph)
    heap = [(0, start)]
    dist = [float('inf')] * N
    visited = [False] * N
    dist[start] = 0
    
    while heap:
        (d, node) = heapq.heappop(heap)
        
        if visited[node]:
            continue
            
        visited[node] = True
        
        for neighbor, weight in graph[node]:
            if not visited[neighbor]:
                new_dist = dist[node] + weight
                if new_dist < dist[neighbor]:
                    dist[neighbor] = new_dist
                    heapq.heappush(heap, (new_dist, neighbor))
                    
        if node in stops:
            stops.remove(node)
            if not stops:
                break

    return sum([dist[stop] for stop in stops])

总结

这是一道考查图论算法的难度较大的例题，但使用Dijkstra算法求解并不是很困难。我们需要了解Dijkstra算法的原理及其优化方式，熟悉堆的使用方法，才能高效的解决类似的问题。