计算前缀数组中最大值小于后缀数组中的最大值的索引

在进行算法设计与优化过程中，我们常常需要计算前缀数组中最大值小于后缀数组中最大值的索引，以便更加高效地处理数据。

问题描述

给定一个长为 $n$ 的数组 $a$，我们需要找到满足以下条件的最小的下标 $i$：

• 对于前缀数组 $p$ 和后缀数组 $s$，其最大值分别为 $max_1$ 和 $max_2$；
• $i$ 是前缀数组中所有元素的最大值小于后缀数组中最大值的最小下标。

解决方案

该问题可以使用单调栈和分治的算法进行解决。

单调栈算法

使用单调栈算法可以高效地计算前缀数组中最大值小于后缀数组中最大值的索引。具体做法如下：

1. 从前往后遍历数组 $a$，对于每一个元素 $a_i$，如果其大于单调栈的栈顶元素，则将栈顶元素出栈，直至栈为空或栈顶元素大于等于 $a_i$。
2. 将 $a_i$ 入栈。
3. 再次从前往后遍历数组 $a$，如果出现一个元素 $a_j$ 大于单调栈的栈底元素，则说明以 $j$ 为结尾的后缀数组中的最大值大于前缀数组中的最大值，直接返回 $j$；
4. 如果遍历完数组 $a$ 后仍旧没有找到符合条件的元素，则说明不存在这样的索引，返回 $-1$。

代码如下：

def max_subarray(a):
    stack = []
    for i in range(len(a)):
        while stack and a[i] > a[stack[-1]]:
            stack.pop()
        stack.append(i)
    for i in range(len(a) - 1, -1, -1):
        if a[i] > a[stack[0]]:
            return i
    return -1

该算法的时间复杂度为 $O(n)$。

分治算法

使用分治算法也可以高效地计算前缀数组中最大值小于后缀数组中最大值的索引。具体做法如下：

1. 将数组 $a$ 平均分成两段，分别计算左半部分数组的最大值和右半部分数组的最大值。
2. 如果左半部分数组的最大值小于右半部分数组的最大值，则说明最小的满足条件的下标一定在右半部分数组中，递归解决右半部分数组。
3. 如果右半部分数组的最大值小于左半部分数组的最大值，则说明最小的满足条件的下标一定在左半部分数组中，递归解决左半部分数组。
4. 如果左半部分数组的最大值等于右半部分数组的最大值，则说明最小的满足条件的下标即为分界点的下标。

代码如下：

def max_subarray(a, left, right):
    if left == right:
        return -1
    mid = (left + right) // 2
    max_left = max(a[left:mid])
    max_right = max(a[mid:right])
    if max_left < max_right:
        return max_subarray(a, mid, right)
    elif max_left > max_right:
        return max_subarray(a, left, mid)
    else:
        return mid

该算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$。

总结

计算前缀数组中最大值小于后缀数组中最大值的索引是算法设计与优化过程中的常见问题，在实际工程中应用广泛。本文介绍了使用单调栈算法和分治算法解决该问题的方法，并给出了相应的代码实现。